2025-2026学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若集合，，则( ) A. B. C. D. 2.已知非零向量，满足，则( ) A. B. C. 与的方向相同 D. 与的方向相反 3.已知，则( ) A. B. C. D. 4.已知幂函数的图象经过点，则( ) A. 定义域为 B. 是偶函数 C. 是减函数 D. 是奇函数 5.将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于坐标原点对称，则的值可以为( ) A. B. C. D. 6.某品牌牛奶的保质期单位：天与储存温度单位：满足函数关系，该品牌牛奶在的保质期为天，在的保质期为天，则该品牌牛奶在的保质期是( ) A. 天 B. 天 C. 天 D. 天 7.已知平面向量，，，设在上的投影向量为，则与的夹角为( ) A. B. C. D. 8.已知对恒成立，则的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是( ) A. “，”是“”成立的充分不必要条件 B. 命题：，，则：， C. 命题“若，则“”是真命题 D. “”是“”成立的必要不充分条件 10.下列说法正确的是( ) A. 若，则为第一象限角 B. 将表的分针拨快分钟，则分针转过的角度是 C. 终边经过点的角的集合是 D. 在一个半径为的圆上画一个圆心角为的扇形，则该扇形面积为 11.已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有( ) A. 若，则 B. 若恒成立，则满足条件的有且仅有个 C. 若，则的取值范围是 D. 若，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数，的最大值为 ． 13.已知，则 _____． 14.函数若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知，，． 求的值； 当为何值时，与垂直？ 16.本小题分 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． 求的值； 若，，求的值． 17.本小题分 如图，是函数图象的一部分． 求函数的解析式； 函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围． 18.本小题分 已知函数为偶函数． 求实数的值； 解不等式． 19.本小题分 已知函数的定义域为，若，，，使得对都成立，则称为型函数． 证明：每一个指数函数且都是型函数； 若函数是型函数，求实数，的值； 已知函数在定义域上的函数值恒大于，且为型函数，当时，若在上恒成立，求实数的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.因为，，， 所以， 则． 若与垂直， 则， 即， 即， 即． 16.解：由角终边上一点，得， 故； 由角终边上一点，得，， 因为，， 所以， 则． 17.解：由图象可得， 函数的最小正周期为，解得， 所以， 由“五点作图法”，得， 解得，所以； 令，，则， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 所以方程在有且仅有两个实根， 令，得或，， 所以方程的正根从小到大排列分别是，，，， 所以，解得． 18.解：函数的定义域为，且为偶函数， ， 即， ， ． 由知，， ， 不等式，等价于， 即， 由，解得， 由，得， 得，即， 综上，不等式的解集为． 19.解：证明：对于指数函数， 有， 故每一个指数函数且都是型函数． 因为函数是型函数， 所以， 所以，其中， 即， 整理得到：在上恒成立， 故，，故，． 在定义域上的函数值恒大于． 为型函数，即对所有都成立． 当时，． 由于，当时， 因此，． 代入，得：， 当时，， 化简得：令， 则，不等式变为：这是一个关于的二次不等式， 解得：验证时的条件：当时， ， 化简得：， 令，则， 不等式变为：，这是一个关于的二次不等式， 要使它在上恒成立，需要满足：， 解得：综合两部分的条件：由于已经 ... ...
