广东省深圳市龙岗区2025-2026学年第一学期高三1月期末质量监测考试数学试卷（扫描版，含答案）

2025-2026学年第一学期期末联测试卷 高三数学科目参考答案及评分细则 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A D A C C B 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．每小题全部选对得 6分，部分 选对得部分分，有选错的得 0分．注：第 9题每选对一个得 3分，全选对得 6分； 第 10、11题每选对一个得 2分，选对两个得 4分，全对得 6分。 题号 9 10 11 答案 BD ACD ACD 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 10 (112、 ； 13、 ,1) (1,e) 10； 14、 ； e 3 四、解答题：本大题共 5小题，共 77分． 2 15.【解析】(1)函数 f x 相邻两个零点的距离是 ，故周期T ，解得 2…2分 2 所以 f x sin 2x ，又 x 为最大值点，所以 2 2k ,k Z ，解得12 12 2 2k ,k Z，结合 ，所以 ………………………………………………4分 3 2 3 故 f x sin 2x ……………………………………………………………………5分 3 2k 2x 2k ,k Z 5 令 ，解得 k x k ,k Z ， 2 3 2 12 12 f x 5 故 的单调递增区间为 k ,k ,k Z …………………………7分 12 12 (2)【法一】凑角法 f x sin 2x 1 x , 由 0 0 ，且 0 ，则 2x0 , …………………… 3 3 12 3 3 2 8分 所以 cos 2x 2 2 0 0 ，故 cos 2x0 1 sin 2 2x 0 ……………10分 3 3 3 3 所以 cos 2x0 cos 2x0 cos 2x cos sin 2x sin 3 3 0 0 3 3 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 3 2 3 2 6 ……………12分 cos2x 3 2 2故 0 …………………………………………………………………………13分6 【法二】解方程法 1 x , 2x 由 f x0 sin 2x 0 ，且 0 ，则 0 , ……………8分 3 3 12 3 3 2 2 2 2 所以 cos 2x0 0，故 cos 2x0 1 sin 2x0 ………10分 3 3 3 3 sin 2x 1 sin 2x 3所以 0 0 cos 2x 1 ； 3 0 2 2 3 cos 2x 1 3 2 2 0 cos 2x sin 2x ；…………………………………………12分 3 2 0 2 0 3 cos2x 3 2 2解得 0 ………………………………………………………………………13分6 c 6 6 16.【解析】(1)由题意：e 2 2 2，得 c a，又由 a b c ，b 1 a 3 3 2 x2a2 1 a2 2，解得 a 3 C 2，则 的方程为 y 1 …………………………4分 3 3 (2)依题意，过点 1,0 的直线 l斜率不为 0（提示：斜率等于 0 的情况不要遗漏），设直线 l : x my 1， x2 y2 1, 2 2 联立 3 得 m 3 y 2my 2 0， x my 1, 2m 2 设 P x1, y1 ,Q x2 , y2 ，则 y1 y2 2 , y1y2 2 ……………………6分m 3 m 3 OQ与椭圆的另一交点为G ， Q,G关于原点对称，即O为QG中点 S 3 3 PQG 2S OPQ ， S OPQ …………………………………………8分2 4 1 2 2m 8 3 S 1 OPQ 1 y y 1 1 2 1 y1 y 2 4y y 2 2 2 1 2 2 m 2 3 m2 3 4 化简得：3m4 2m2 5 0 ……………………………………………………11分 (m2 1 )(3m2 5 )=0 2，解得m 1,m 1，……………………………………13分 直线 l的方程为： x y 1，即 x y 1 0 . ………………………………15分 17.【解析】(1)证明： BD CD,M 为 BD中点， CM BD ………………………2分 又平面 ABD 平面CBD，平面 ABD 平面 BCD BD，CM 平面 BCD CM 平面 ABD………………………………………………………………………………4分 又 AM 平面 ABD， CM AM ………………………………………………………5分 (2)过M 作 BD垂线交 AD于G ， MG，MD，MC两两垂直，故以M 为原点，MC 为 x轴，MD为 y 轴，MG为 z 轴建 立空间直角坐标系.B(0, 2,0) ABD DBC BDC 3 ， 6 ， 2 2 3 MC 3 ,则C( ,0,0)，D(0,2,0) …………………………………………………7分 3 3 令 N (0,a, 3 (2 a))，易知平面BCD一个法向量为（0,0，1） ……………………………9分 3 2 3 3 BC , 2,0 ，BN 3 0,a 2, 2 a 3 令 BCN 一个法向量n x, y, z 2 3 x 2 ... ...