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课件网) 第二课时 数列的递推公式 1.了解数列递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的项（逻辑推理）. 2.理解数列的前n项和Sn与an的关系（数学运算）. 课标要求 观察某次智力测试中的一道题，数列1，3，6，10，15，…中数字出现的规律是： a2－a1＝3－1＝2， a3－a2＝6－3＝3， a4－a3＝10－6＝4， a5－a4＝15－10＝5， ———… 你能用an＋1与an的一个数学表达式描述该数列相邻两项之间的关系吗？这就是这节课我们要学习的内容. 情境导入 知识点一 数列的递推公式 01 知识点二 由递推公式求通项公式 02 知识点三 an与Sn的关系 03 课时作业 04 目录 知识点一 数列的递推公式 01 PART 问题1 观察如图所示的钢管堆放示意图： （1）如果最上面一层为第一层，记第n层的钢管数为an，你能写出an的一 个表达式吗？ 提示：an＝n＋3（1≤n≤7）. （2）你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层 之间的关系？ 提示：自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多1，即a1＝4，a2＝5 ＝4＋1＝a1＋1，a3＝6＝5＋1＝a2＋1.依此类推：an＝an－1＋1 （2≤n≤7）. 【知识梳理】 如果一个数列的 两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示， 那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 提醒：（1）与数列通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公 式；（2）注意通项公式反映的是an与n之间的关系，递推公式反映的是项 与项之间的关系. 相邻 【例1】 （链接教材P6例5）已知数列{an}中，a1＝1，且满足an＝3an－1 ＋ （n∈N*，且n＞1），写出数列{an}的前5项. 解：由题意，得a2＝3a1＋ ， 而a1＝1，所以a2＝3×1＋ ＝ . 同理a3＝3a2＋ ＝10，a4＝3a3＋ ＝ ，a5＝3a4＋ ＝ 91. 【规律方法】 由递推公式写出数列的项的方法 （1）根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关 系，依次代入计算即可； （2）若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项 的形式. 训练1 （1）在数列{an}中，an＋1＝ 若a1＝ ，则a4 ＝（ C ） A. B. C. D. 解析：因为an＋1＝ a1＝ ，所以a2＝2a1－1＝ ，a3＝ 2a2－1＝ ，a4＝2a3＝ . C （2）已知数列{an}满足an＋1＝ ，a5＝2，则a1＝ . 解析：因为an＋1＝ ，a5＝2，令n＝4，2＝ ，所以a4＝ ，令n＝ 3， ＝ ，所以a3＝－1，令n＝2，－1＝ ，所以a2＝2，令n＝1， 2＝ ，所以a1＝ . 知识点二 由递推公式求通项公式 02 PART 问题2 通项公式与递推公式都是表示数列的常见方法，你能比较一下它 们的异同吗？ 提示：相同点：都可以求出数列的任何一项. 不同点：通项公式给定任何一个序号n即可求项an；递推公式要求任一 项，需先确定它的前后项. 【例2】 （1）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋ － ，则an＝ （ B ） A. B. C. D. B 解析：法一（归纳法） 数列的前5项分别为a1＝1，a2＝1＋1－ ＝2－ ＝ ，a3＝ ＋ － ＝2－ ＝ ，a4＝ ＋ － ＝2－ ＝ ，a5＝ ＋ － ＝2－ ＝ ，所以an＝2－ ＝ （n≥2），又a1＝1满足上式，由此可 得数列的一个通项公式为an＝ . 法二（迭代法） a2＝a1＋1－ ，a3＝a2＋ － ，…，an＝an－1＋ － （n≥2），则an＝a1＋1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ － ＝2－ ＝ （n≥2）.又a1＝1也适合上式，所以an＝ （n∈N*）. 法三（累加法） an＋1－an＝ － ，a1＝1，a2－a1＝1－ ，a3－a2＝ － ，a4－a3＝ － ，…，an－an－1＝ － （n≥2），以上各式相加 得an＝1＋1－ ＋ － ＋…＋ － .所以an＝ （n≥2）.因为a1＝ 1也适合上式，所以an＝ （n∈N*）. （2）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ an（n∈N*），则an＝ （ D ） A. n＋1 B. n C. D. D 解析： ... ...
