一、等差、等比数列的基本运算和性质（考教衔接） 数列的基本运算和性质以小题居多，但也可作为解答题第一问命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n项和等. 教材原题 （1）（教材P25习题2题）已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.求a20； （2）（教材P37练习3题）设等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知a2＝6，6a1＋a3＝30.求an和Sn. 变式1 等差数列的基本运算和性质 （2024·新高考Ⅱ卷12题）记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝ . 变式2 等比数列前n项和的性质 〔多选〕（2025·全国Ⅱ卷9题）Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q＞0，S3＝7，a3＝1，则（ ） A.q＝ B.a5＝ C.S5＝8 D.an＋Sn＝8 变式3 等差数列与等比数列的综合运算 （2022·新高考Ⅱ卷17题）已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. （1）证明：a1＝b1； （2）求集合{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数. 【反思感悟】 在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d（q），Sn，可通过列方程组的方法，知三求二.在利用Sn求an时，要注意验证n＝1时是否成立. 二、数列的通项公式 数列的通项公式在命题中多以递推公式的形式或与Sn的关系给出条件，然后通过构造等差数列或等比数列，求出通项公式an. 【例1】 （1）在数列{an}中，a1＝1，且对于任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an＋mn，则an＝ ； （2）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为 . 【反思感悟】 求数列通项公式的常用方法 （1）由Sn与an的关系求通项公式：当n≥2且n∈N*时，an＝Sn－Sn－1；当n＝1时，a1＝S1； （2）累加法：适用于形如“an＋1－an＝f（n）”，an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）； （3）累乘法：适用于形如“＝f（n）”，an＝a1···…·； （4）构造法：①形如“an＝kan－1＋b（k，b为常数，k≠0，k≠1，n≥2，n∈N*）”，可令an＋t＝k（an－1＋t），结合已知条件可得t＝，构造等比数列{an＋}； ②取倒数法：形如“an＝（n≥2，n∈N*，k，m，p均为常数，m≠0）”，可在等式两边取倒数，转化为等差数列{}或转化为类型①. 三、等差、等比数列的判定与证明 判断等差或等比数列是数列中的重点内容，对给定条件进行变形是解题的关键所在，经常利用此类方法构造等差或等比数列. 【例2】 已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2（n＋1）an.设bn＝. （1）求b1，b2，b3； （2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； （3）求数列{an}的通项公式. 变式 已知数列{an}满足a1＝，且当n＞1，n∈N*时，有＝. （1）求证：数列{}为等差数列； （2）试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由. 【反思感悟】 判断（证明）数列是等差（比）数列的方法 （1）定义法：对于n≥1的任意自然数，验证an＋1－an（或）为与正整数n无关的常数； （2）等差（比）中项法：①若2an＝an－1＋an＋1（n∈N*，n≥2），则{an}为等差数列；②若＝an－1·an＋1（n∈N*，n≥2且an≠0），则{an}为等比数列； （3）通项公式法：an＝kn＋b（k，b是常数） {an}是等差数列；an＝c·qn（c，q为非零常数） {an}是等比数列； （4）前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn（A，B为常数，n∈N*） {an}是等差数列；Sn＝Aqn－A（A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*） {an}是公比不为1的等比数列. 四、数列求和（考教衔接） 根据题目所给条件，会使用分组转化法、错位相减法、裂项相消法和并项转化法求和. 教材原题 （教材P56复习参考题1 ... ...
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