5.1.1 变化率问题 课标要求 情境导入 1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程（数学抽象）. 2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系（数学抽象、数学运算）. 3.体会极限思想（数学抽象）. 2020年珠穆朗玛峰（简称珠峰）新测高度8 848.86米，是世界第一高峰，是很多登山爱好者的终极之地.很多人为了征服这座山峰，每年都会向它发起挑战，但到现在为止能顺利登顶的人并不多.当山势的陡峭程度不同时，登山队员攀登的难度也是不一样的.你知道如何用数学知识来反映山势的陡峭程度吗？ 知识点一｜物体运动的平均速度 问题1 （1）某公路上存在一段长为2 km的测速路段，假定测速超过100 km/h即为超速，某汽车用时1.5分钟，它超速了吗？你觉得这种测速的本质是什么？ 提示：记测速为v，则v＝＝＝80 km/h，因此它没有超速.这种测速的本质是平均速度. （2）在一次跳水中，某运动员在运动过程中的重心，相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）＝－4.9t2＋2.8t＋11，你能求出该运动员在0≤t≤0.2，1≤t≤1.5，0≤t≤内的平均速度吗？由运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度，你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 提示：当0≤t≤0.2时，＝＝1.82（m/s）；当1≤t≤1.5时，＝＝－9.45（m/s）；当0≤t≤时，＝＝0（m/s）；虽然运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度是0 m/s，但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能精确描述运动员的运动状态. 【知识梳理】 1.平均速度：我们把位移s看成关于时间t的函数s＝s（t），则物体在时间段上的平均速度＝ . 2.物体在某一时段内的平均速度的大小反映了物体运动的 快慢 . 提醒：把速度v看成关于时间t的函数v＝v（t），则物体在时间段上的平均加速度＝. 【例1】 某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s（t）＝sin t，t∈. （1）分别求s（t）在区间和上的平均速度； 解：物体在区间上的平均速度为＝＝＝. 物体在区间上的平均速度为＝＝＝. （2）比较（1）中两个平均速度的大小，说明其几何意义. 解：由（1）可知－＝＞0，所以＜.作出函数s（t）＝sin t在上的图象，如图所示，可以发现，s（t）＝sin t在上随着t的增大，函数值s（t）变化的越来越慢. 【规律方法】 求物体运动的平均速度的步骤 （1）先计算位移的改变量s（t2）－s（t1）； （2）再计算时间的改变量t2－t1； （3）得平均速度＝. 训练1 一个物体做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为s（t）＝5t2＋bt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数b＝（ ） A.2 B.1 C.－1 D.6 解析：B 由已知，得＝26，所以（5×32＋3b）－（5×22＋2b）＝26，解得b＝1. 知识点二｜物体运动的瞬时速度 问题2 （1）如果我们用Δs＝s（t2）－s（t1），Δt＝t2－t1，分别代表位移、时间的增量，你能用Δs，Δt表示平均速度吗？区间内的平均速度呢？ 提示：＝＝； ＝. （2）区间表示时刻t0到时刻t0＋Δt内的时间，随着Δt的改变，区间变大或变小，如果Δt变成无限接近0的正数，那么我们该如何认识 ＝呢？ 提示：用极限思想可以理解为t0时刻的瞬时速度. 【知识梳理】 1.瞬时速度：物体在 某一时刻 的速度称为瞬时速度. 2.瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔｜Δt｜无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度. 3.设物体运动的时间与位移的函数关系为s＝s（t），则物体在t0时刻的瞬时速度为 v＝ . 提醒：Δt可正，可负，但不能为0. 【例2】 （链接教材P61练习1题）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数s（t）＝t2＋t＋1表示，求物体在 ... ...
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