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课件网) 提优点1 抽象函数与嵌套函数 1．抽象函数常以选择题形式考查，主要涉及抽象函数的单调性、对称性和周期性． 2．嵌套函数以小题形式出现，主要考查复合函数的单调性及零点或方程根个数，多为中低档题． 命题解读 1．抽象函数 (1)抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题． (2)很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质． (3)解答抽象函数问题要注意特殊赋值法以及拟合函数的应用，通过特殊赋值法以及拟合函数可以找到解决问题的突破口． 2．嵌套函数 (1)嵌套函数形式：形如f(g(x)). (2)常见有两类嵌套函数分别是：“自(互)嵌套型”和“二次嵌套型”，解题的主要思路是：首先通过“换元”达到“解套”的目的，再利用数形结合的思想解决具体问题即可． 类型一 抽象函数 例1 (1)已知函数f(x)的定义域为R， x，y∈R，f(x＋1)f(y＋1)＝f(x＋y)－f(x－y)，若f(0)≠0，则f(2024)＝( ) A．－2 B．－4 C．2 D．4 A 解析：A 令x＝y＝0，得f(1)·f(1)＝f(0)－f(0)＝0，即f(1)＝0， 令x＝0，得f(1)·f(y＋1)＝f(y)－f(－y)＝0，得f(－y)＝f(y)，所以函数f(x)为偶函数，令x＝y＝1，得f2(2)＝f(2)－f(0)，令x＝y＝－1，得f2(0)＝f(－2)－f(0)＝f(2)－f(0)，∴f2(2)＝f2(0)，∴f(2)＝f(0)或f(2)＝－f(0)，若f(2)＝f(0)，解得f(0)＝0与已知f(0)≠0矛盾，∴f(2)＝－f(0)，即f2(2)＝2f(2)，解得f(2)＝2，f(0)＝－2，令y＝1，得f(x＋1)·f(2)＝f(x＋1)－f(x－1)，∴2f(x＋1)＝f(x＋1)－f(x－1)，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4. ∴f(2024)＝f(0)＝－2. (2)(多选)函数f(x)满足：对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－2，且当x>0时，f(x)>2，则( ) A．f(0)＝2 B．f(x)关于(0，2)对称 C．f(－2024)＋f(2024)＝4 D．f(x)为减函数 ABC 解析：ABC 由对于任意实数x，y，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－2，令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)－2，即f(0)＝2，故A正确； 令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)－2，即f(x)＋f(－x)＝4，故B正确； 令x＝2024，y＝－2024，则f(0)＝f(2024)＋f(－2024)－2，即f(2024)＋f(－2024)＝4，故C正确； 对于任意y∈R，x>0，则设z＝x＋y>y，当x>0时，f(x)>2，则f(z)－f(y)＝f(x)－2>0，即f(z)>f(y)，所以f(x)单调递增，故D错误． 1．常用赋值法、函数模型法． 2．常需推断其单调性、周期性． 训练1 已知定义域是R的函数f(x)满足： x∈R，f(4＋x)＋f(－x)＝0，f(1＋x)为偶函数，f(1)＝1，则f(2023)＝( ) A．1 B．－1 C．2 D．－3 解析：B 因为f(1＋x)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2－x)＝f(x)，又由f(4＋x)＋f(－x)＝0，得f(4＋x)＝－f(－x)，所以f(8＋x)＝－f(－4－x)＝－f(6＋x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，故f(x)的周期为4，所以f(2023)＝f(3)＝－f(1)＝－1. B 训练2 (多选)已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意x，y∈R都满足f(x)－2＝f(x＋y)－f(y)，且f(x＋1)为偶函数，则下列说法正确的是( ) A．f(0)＝2 B．f(x)为奇函数 C．f(x)关于点(0，2)对称 D ACD 解析：ACD 由对于任意x，y∈R都满足f(x)－2＝f(x＋y)－f(y)，令x＝y＝0，则f(0)＝2，所以A正确； 令y＝－x，可得f(x)－2＝f(0)－f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝4，所以函数f(x)关于点(0，2)对称，所以C正确，B错误； 又由f(x＋1)为偶函数知f(x)关于直线x＝1对称，即f(x)＝f(2－x)， ... ...
