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课件网) 第2课时 二项式系数的性质与杨辉三角 新知学习 探究 PART 01 第一部分 思考1 上述数表最显著的特点是什么？ 提示：(1)从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小． (2)表中每行两端的数都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和． 思考2 每一行中，与首末等距离的二项式系数有怎样的关系？ 提示：相等． 思考3 当n＝6时，你能否写出展开式的二项式系数？ 提示：分别是1，6，15，20，15，6，1. 增大 减小 2n (1)若(1－2x)n的展开式有且只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x3项的系数为( ) A．－960 B．960 C．448 D．－448 √ －540 二项式系数性质的理解 (1)二项式系数的性质不是展开式中系数的性质． (2)二项式系数的最大项与n的奇偶性有关． (3)二项式系数和只与n有关． √ 280 三 二项展开式的系数和问题 已知(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9. (1)求a1＋a2＋a3＋…＋a9的值； 【解】 因为(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9.令x＝0，则a0＝1，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＝0, 所以a1＋a2＋a3＋…＋a9＝－1. (2)求a0＋a2＋a4＋a6＋a8的值． 【解】 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝29＝512，又由(1)知，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＝0，则两式相加得，2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝512，所以a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝256. 【变式探究】 1．(设问变式)本例条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值． 解：由二项展开式定理可知，a1，a3，a5，a7，a9为负数，a0，a2，a4，a6，a8为正数，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝29＝512，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9＝29＝512. 赋值法求二项展开式中的系数和 (1)对于形如(ax＋b)n(a，b∈R，n∈N＋)的式子，求其展开式的各项系数之和常用赋值法，只需令x＝1即可；求形如(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． [跟踪训练3] 已知x7＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a7(x＋1)7.求： (1)a1＋a2＋a3＋…＋a7； 解：由x7＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a7(x＋1)7，令x＝－1，则a0＝－1，令x＝0，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝0，所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7)－a0＝1. (2)a1＋a3＋a5＋a7. 解：令x＝－2，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝(－2)7＝－128，因为a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝0，两式相减，可得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128，所以a1＋a3＋a5＋a7＝64. 对称 1 和 ———杨辉三角”又称“贾宪三角”，“帕斯卡三角”(如图所示)，它揭示了(a＋b)n(n为非负数)展开式的各项系数的规律． 根据上述规律，完成下列问题： (1)直接写出(a＋b)5＝_____； (a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5 (2)(a＋1)8的展开式中a项的系数是_____； (3)利用上述规律求115的值，写出过程． 【解】 115＝(10＋1)5＝105×10＋5×104×11＋10×103×12＋10×102×13＋5×101×14＋100×15＝100 000＋50 000＋10 000＋1 000＋50＋1＝ 161 051. 解决与杨辉三角有关的问题的一般方法是：观察———分析———实验 ———猜想结论———证明，要得出杨辉三角中的数字的诸多排列规律，取决于我们的观察能力，注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察(横看成岭侧成峰，远近高低各不同). [跟踪训练4] (2024·贵州兴义八中月考)杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算术》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是(a＋b)n(n∈N)，当n＝0，1，2，3，4，5时展开式的二项式系数表 ... ...
