《创新方案》5.3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 课件 高中数学选修三(人教B版)同步讲练测

(课件网) 5．3.2　等比数列的前n项和 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题．　2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 学 习 目 标 新知学习 探究 PART 01 第一部分 同学们，前面我们就用等差数列中的性质，类比出了等比数列的性质，由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们再进一步扩大同学们的智慧． 思考　通过类比，我们能得出等比数列前n项和的哪些性质？ 提示：由等差数列前n项和公式的“函数特性、片段和性质、奇偶项性质”类比等比数列前n项和公式的“函数特性、片段和性质、奇偶项性质”． 一　等比数列前n 项和的性质 1．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋_____(n，m∈N＋). 2．若数列{an}是公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，_____仍构成等比数列． qnSm S3n－S2n 　(1)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝9，则S12＝(　　) A．27 B．39 C．81 D．120 【解析】　由题知，S3＝3，S6－S3＝9， 因为数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，所以S9－S6＝27，S12－S9＝81，所以S12＝S9＋81＝S6＋27＋81＝S3＋9＋27＋81＝120.故选D． √ (2)已知正项等比数列{an}共有2n项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝_____． 【解析】　设等比数列{an}的奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶， 则S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝q(a1＋a3＋…＋a2n－1)＝qS奇，由S2n＝3S奇，得(1＋q)S奇＝3S奇，因为an>0，所以S奇>0，所以1＋q＝3，解得q＝2. 2 利用等比数列前n项和的性质解题的注意点 (1)牢记并熟练运用等比数列及其前n项和的性质是基础． (2)运用方程思想、整体代换思想是解题的关键．　 [跟踪训练1] (1)已知等比数列{an}的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是(　　) A．28 B．48 C．36 D．52 解析：设等比数列{an}的前n项和为Sn，则依题意有Sm＝4，S2m＝12，则Sm≠0，且S2m－Sm≠0，根据等比数列前n项和的性质有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等比数列，所以(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)，即(12－4)2＝4(S3m－12)，解得S3m＝28.故选A． √ (2)已知等比数列{an}有2n＋1项，a1＝1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n＝_____． 3 二　利用Sn与an的递推关系判断等比数列 　已知数列{an}中，a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且对任意n∈N＋，有an＋1＝kSn＋1(k为常数). (1)当k＝2时，求a2，a3的值； 【解】　由题意可得，a2＝2S1＋1＝3，a3＝2S2＋1＝2×(1＋3)＋1＝9. 已知数列{an}中，a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且对任意n∈N＋，有an＋1＝kSn＋1(k为常数). (2)试判断数列{an}是否为等比数列？请说明理由． 给出等比数列前n 项和Sn与第n项an之间的递推关系式，判断an是否为等比数列的常见做法是：用n－1代换n，得到另一个等式，然后两式作差，利用Sn－Sn－1＝an，可以得到一个关于项之间的递推关系，根据递推关系就可以判断该数列是否为等比数列．　 [跟踪训练2] 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－2，n∈N＋. (1)证明：{an}为等比数列，并写出它的通项公式； 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－2，n∈N＋. (2)若正整数m满足不等式Sm≤500，求m的最大值． 解： 由(1)可知Sn＝2n＋1－2， 因为Sm≤500，所以2m＋1－2≤500， 即2m＋1≤502＜512＝29，解得m＋1<9，所以m<8， 因为m∈N＋，所以m的最大值为7. 三　等比数列前n项和的实际应用 　(对接教材例5)小华计划从今年4月开始存钱买车，若他第一个月存1万元，以后每个月在前一个月的基础上增加 ... ...