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课件网) 6．3 球的表面积和体积 学习目标 1.了解球的结构和性质． 2.掌握球的表面积与体积公式，并能应用公式解决问题． 3．会解决与球有关的截面、简单组合体问题． 新知学习 探究 PART 01 第一部分 思考1 球也是旋转体，它是由什么平面图形旋转得到的？ 提示：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体． 思考2 用任一平面去截球，截面是什么？ 提示：圆面． 经过球心 不经过球心 唯一 切点 相等 一个圆锥 【即时练】 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)过球外一点有且只有一条切线与球相切．( ) (2)球面上的任意三点确定一个平面．( ) (3)球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面．( ) × √ √ 2．过半径为1的球O外一点P作球O的切线，若OP＝2，则切点所在平面与所有切线所围成的几何体的侧面积为_____． (1)球的任意一个截面都是圆面． (2)球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且过球心． 4πR2 √ (1)球的基本量是球的半径，由半径可以求出球的表面积和体积，反过来，由表面积和体积也可以求出球的半径，进而解决其他问题． (2)球的表面积之比是半径比的平方，球的体积之比是半径比的立方． [跟踪训练1] (1)已知三个球的体积之比为1∶27∶64，则它们的表面积之比为( ) A．1∶3∶4 B．1∶18∶48 C．1∶27∶64 D．1∶9∶16 √ (2)已知两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为_____． 2 【解】 因为AB2＋BC2＝AC2， 所以△ABC是直角三角形，B＝90°. 因为球心O在截面△ABC上的投影O′为截面圆的圆心，即是Rt△ABC的外接圆的圆心， 所以斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示). 设O′C＝r，OC＝R，则球的半径为R，截面圆半径为r， [跟踪训练2] 一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为 49π cm2和400π cm2，求球的表面积． 解：当截面在球心的同侧时， 如图1所示为球的轴截面， 由球的截面性质知AO1∥BO2，且O1，O2为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2. 设球的半径为R，因为π·O2B2＝49π，所以O2B＝7 cm. 同理，得O1A＝20 cm. 设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm. 在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，① 在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，② 联立①②可得x＝15，R＝25. 所以S球＝4πR2＝2 500π(cm2)，故球的表面积为 2 500π cm2. 当截面在球心的两侧时，如图2所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B. 设球的半径为R，因为π·O2B2＝49π， 所以O2B＝7 cm. 因为π·O1A2＝400π，所以O1A＝20 cm. 设O1O＝x cm，则OO2＝(9－x)cm. 在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，③ 在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋72，④ 联立③④可得x＝－15，不合题意，舍去． 综上所述，球的表面积为2 500π cm2. √ (2)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为_____cm2. 【解析】 如图，设球的半径为R cm，则正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面圆的距离为(R－2)cm，所以42＋(R－2)2＝R2，解得R＝5， 所以球的表面积为S表面积＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2). 100π 处理与球有关的组合体问题时，一般需依据球和几何体的对称性，确定球心与几何体的特殊点，球的直径与几何体的体对角线间的关系，再依据题中数量关系将其转化为平面问题求解． [跟踪训练3] 如图，这是某种型号的奖杯，它是用一个正四棱台、 一个正四棱柱和一个球焊接而成的，球的半径为R.正四棱柱的底 面边长 ... ...
