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课件网) 3.3 幂函数 1. 了解幂函数的概念（数学抽象）. 2. 结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝ 的图象，掌握它们的性质（直观想象）. 3. 能利用幂函数的单调性比较幂的大小（逻辑推理、数学运算）. 课标要求 经调查，一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示： 根据此表，我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y＝x－0.38.这是一类怎样的函数，这类函数有什么一般的性质？ 情景导入 价格/元 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 需求量/t 1.216 1.179 1.146 1.117 1.089 1.064 1.041 知识点一 幂函数的概念 01 知识点二 幂函数的图象与性质 02 提能点 幂函数性质的综合应用 03 目录 课时作业 04 知识点一 幂函数的概念 01 PART 问题1 下面几个实例，观察它们得出的函数解析式有什么共同特征？ ①正方体的边长为x，体积为y，则y＝x3； ②若某放射性物质每经过1年，其剩留量是原来的x倍，则质量为1的这种 物质经过100年后，其剩留量应为C＝x100； ③如果某人驾车在t s内行进了1 km，那么该车的平均速度为v＝t－1km/s； ④如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝ . 提示：这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变 量，幂的指数都是常数. 【知识梳理】 一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数. 提醒：幂函数的特征：①底数是自变量x；②自变量的系数为1；③α 是任意常数；④函数的定义域与α有关. y＝xα x α 【例1】 （1）下列函数中是幂函数的有（ ） A. y＝ B. y＝2x2 C. y＝x2＋x D. y＝1 解析： 因为y＝ ＝x－2，所以A项是幂函数；y＝2x2由于自变量前出 现系数2，所以B项不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，所以C项不是 幂函数；y＝1≠x0，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象 多了一个点（0，1），所以D项不是幂函数. √ （2）已知y＝（m2＋2m－2） ＋2n－3是幂函数，求m，n的值. 解：由题意得 解得 或 所以m＝－3或m＝1，n＝ . 【规律方法】 幂函数的判断方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα（α为常数） 的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量x，③自变量x前的系数 为1.形如y＝（3x）α，y＝2xα，y＝xα＋5，…形式的函数都不是幂函数. 训练1 若函数f（x）是幂函数，且满足f（2）＝4，则f（－4） ＝ . 解析：设f（x）＝xα，∵f（2）＝4，∴2α＝4，解得α＝2，∴f（x）＝ x2，∴f（－4）＝（－4）2＝16. 16 知识点二 幂函数的图象与性质 02 PART 问题2 （1）根据前面对函数的一般性质研究的方法和规律，应从哪些切 入点入手研究幂函数的性质； 提示：根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再利用 图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题. （2）你能在同一坐标系下作出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝x－1这 五个函数的图象吗？ 提示： 【知识梳理】 观察上述5个函数图象，可以得到幂函数的以下性质： 幂函数 y＝ x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞） （－∞，0）∪ （0，＋∞） 值域 R [0，＋∞） R [0，＋∞） {y｜y∈R且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 单调性 增 x∈（0，＋∞） 增； x∈（－∞，0）减 增 增 x∈（0，＋∞） 减； x∈（－∞，0）减 公共点 都经过点 （1，1） A. d＞c＞b＞a B. a＞b＞c＞d C. d＞c＞a＞b D. a＞b＞d＞c 解析： 令a＝2，b＝ ，c＝－ ，d＝－1，和题目所给的形式相符 合.在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增 大，所以a＞b＞c＞d.故选B. 【例2】 （1 ... ...
