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课件网) 章末整合提升 体系构建 01 素养提升 02 目录 体系构建 01 PART 素养提升 02 PART 一、同角三角函数的基本关系和诱导公式 1. 同角三角函数的基本关系： sin 2α＋ cos 2α＝1及 ＝tan α；诱导公式 可概括为k· ±α（k∈Z）的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变 偶不变，符号看象限. 2. 掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用，重点提升逻辑推理和数学 运算素养. 【例1】 （1）已知tan α＝3，则 sin 2α－ sin α cos α－2 cos 2α的值为 （ B ） 解析：因为tan α＝3，所以 sin 2α－ sin α cos α－2 cos 2α＝ ＝ ＝ ＝ .故选B. B （2）（2025·南通期末）在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为O，始边 为x轴的非负半轴，终边经过点P（－3，4），则 ＝ . 解析：由已知得， sin α＝ ， cos α＝－ ， ＝ ＝ ＝ . 【反思感悟】 1. 使用同角三角函数的基本关系式，要注意根据角的范围判断三角函数值 的符号，若正切、正弦、余弦同时出现在问题中，则常用切化弦，有时也 可将正弦、余弦转化为正切进行求解. 2. 诱导公式类型多，使用时不要死记公式，要学会“以不变应万变”，只 需注意以下三点：（1）判断是否能用诱导公式；（2）若能用诱导公式， 判断三角函数的“名”是否改变；（3）判断符号是否改变. 二、三角恒等变换 1. 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切 公式，辅助角公式.考查角度：（1）给角求值；（2）给值求值；（3）给 值求角. 2. 掌握三角恒等变换，重点培养逻辑推理和数学运算素养. 【例2】 （1）（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知 cos （α＋β）＝m，tan αtan β ＝2，则 cos （α－β）＝（ A ） A. －3m D. 3m 解析：因为 cos （α＋β）＝m，所以 cos α cos β－ sin α sin β＝m，而tan αtan β＝2，即 ＝2，所以 sin α sin β＝2 cos α cos β，故 cos α cos β－ 2 cos α cos β＝m，即 cos α cos β＝－m，从而 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝3 cos α cos β＝－3m.故选A. A （2）（2024·全国甲卷理8题）已知 ＝ ，则tan（α＋ ）＝ （ B ） 解析：根据题意有 ＝ ，即1－tan α＝ ，所以tan α＝1－ ， 所以tan（α＋ ）＝ ＝ ＝2 －1，故选B. B 【反思感悟】 三角恒等变换的三个策略 （1）变角：三角恒等变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过 拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式； （2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为 弦或统一为切； （3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径.如升幂、 降幂、配方、开方等. 三、三角函数的图象与性质 1. 高考中三角函数是必考内容之一，着重考查三角函数的定义域、值域、 单调性、奇偶性、对称性、周期性等有关性质.考查角度：（1）三角函数 的性质；（2）三角函数图象的变换；（3）求函数y＝A sin （ωx＋φ）的 解析式；（4）函数y＝A sin （ωx＋φ）的图象与性质. 2. 掌握三角函数的图象和性质，重点培养直观想象和数学运算素养. 【例3】 （1）（2023·全国乙卷理6题）已知函数f（x）＝ sin （ωx＋ φ）在区间（ ， ）上单调递增，直线x＝ 和x＝ 为函数y＝f（x） 的图象的两条相邻对称轴，则f（－ ）＝（ D ） D 解析：由函数f（x）在区间（ ， ）上单调递增，且直线x＝ 和x＝ 是函数f（x）的图象的两条相邻对称轴，得 ＝2（ － ），解得ω＝ 2，则f（ ）＝ sin （ ＋φ）＝－1，所以φ＝－ ＋2kπ－ ＝－ ＋ 2kπ，k∈Z，所以f（x）＝ sin （2x－ ＋2kπ），k∈Z，则f（－ ） ＝ sin （－ ＋2kπ）＝ sin （－ ）＝ .故选D. ... ...
