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课件网) 培优课 圆锥曲线中的综合问题 1.理解和掌握圆锥曲线中求最值（范围）问题的基本方法（数学运算）. 2.掌握圆锥曲线中定点、定值问题与探索性问题的基本解题思路（逻辑推理、数学运算）. 重点解读 最值（范围）问题 一 定点、定值问题 二 探索性问题 三 课时作业 04 目录 一 PART 最值（范围）问题 【例1】（1）已知双曲线 － ＝1与双曲线 － ＝1（其中a＞0，b ＞0），设连接它们的顶点构成的四边形的面积为S1，连接它们的焦点构 成的四边形的面积为S2，则 的最大值为（ A ） B. 1 D. 2 解析：易知两个双曲线的焦距相等.由题设得 ＝ ＝ ≤ ＝ ，当且仅当a＝b时，不等式取“＝”，故 的最大值为 . A 一、 （2）（2025·南京月考）抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝－4， F为抛物线的焦点，P为抛物线上的一个动点，Q为曲线C：x2－10x＋y2 －2y＋22＝0上的一个动点，则｜PF｜＋｜PQ｜的最小值为（ A ） A. 7 C. 8 A 解析：由题意可知，抛物线方程为y2＝16x，曲线C： （x－5）2＋（y－1）2＝4，如图，过点P作PA⊥准 线x＝－4于点A，则｜PA｜＝｜PF｜，∴｜PF｜ ＋｜PQ｜＝｜PA｜＋｜PQ｜，要使｜PA｜＋｜ PQ｜最小，只需A，P，Q三点共线且｜QA｜最小 即可，则需点Q到直线x＝－4的距离最短，∵点Q到直线x＝－4的最短距离为9－2＝7，∴｜PF｜＋｜PQ｜的最小值为7. 【规律方法】 圆锥曲线中最值（范围）问题的求法 （1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形的特征及意义， 则考虑利用图形性质来解决； （2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首 先建立目标函数，再求这个函数的最值（范围），求函数最值的常用方法 有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的性质法等. 训练1 如图所示，点A，B分别是椭圆 ＋ ＝1长轴的左、右端点，点 F是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，设M是椭圆长轴AB上的一 点，点M到直线AP的距离等于｜MB｜，则椭圆上的点到点M的距离d的 最小值为 . 解析：由已知可得点A（－6，0），点B（6，0），点P（ ， ）.直 线AP的方程是x－ y＋6＝0，设点M的坐标是（m，0），则点M到直 线AP的距离是 ，于是 ＝｜m－6｜，又－6≤m≤6，解 得m＝2.由椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，得d2＝（x－2）2＋ y2＝x2－4x＋4＋20－ x2＝ （x－ ）2＋15，由于－6≤x≤6，由f（x） ＝ （x－ ）2＋15的图象可知，当x＝ 时，d取最小值，且最小值为 . 二 PART 定点、定值问题 【例2】（2025·无锡月考）设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的 直线l与C交于A，B两点. （1）若l的斜率为2，求｜AB｜的值； 解：依题意得F（1，0），所以直线l的方程为y＝2（x－1）. 设直线l与抛物线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）， 由 得x2－3x＋1＝0， 所以x1＋x2＝3，所以｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5. （2）求证： · 为定值. 解：证明：设直线l的方程为x＝ky＋1，直线l与抛物线的交点为A（x1， y1），B（x2，y2）， 由 得y2－4ky－4＝0， 所以y1＋y2＝4k，y1y2＝－4. 所以 · ＝（x1，y1）·（x2，y2） ＝x1x2＋y1y2＝（ky1＋1）（ky2＋1）＋y1y2 ＝k2y1y2＋k（y1＋y2）＋1＋y1y2 ＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3， 所以 · 为定值. 【规律方法】 定点、定值问题的解题策略 （1）定点：首先将要研究的直线、曲线的方程表示出来，一是方程变形 为特定形式后观察，如把直线的方程变为点斜式来观察定点；二是把参数 提出来，把参数看作变量，令参数的系数为零后解出定点； （2）定值：实质是求值，即把要研究的量求出来，求出来的量为常数， 即为定值. 训练2 已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的一个顶点为D（0，－1），离 心率为 . ... ...
