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课件网) 培优课 抛物线焦点弦性质的应用 1.了解抛物线焦点弦性质的推导过程（逻辑推理、数学运算）. 2.理解和掌握焦点弦的性质及应用（数学运算）. 重点解读 x1·x2＝ ，y1·y2＝－p2的应用 一 ｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ （α是直线AB的倾斜角，α≠0°）的应用 二 ＋ ＝ 的应用 三 以弦AB为直径的圆与准线相切的应用 四 目录 课时作业 05 过焦点的直线与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线 的焦点弦.抛物线的焦点弦是研究抛物线性质的一个重要方面，它具有 很多性质： 设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B （x2，y2），则 （1）x1·x2＝ ，y1·y2＝－p2； （2）｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ ，S△OAB＝ （α是直线AB的倾斜 角，α≠0°）； （3） ＋ ＝ 为定值（F是抛物线的焦点）； （4）以弦AB为直径的圆与准线相切. 同学们可以课下根据自己的兴趣，推导一下这些性质. 一 PART x1·x2＝ ，y1·y2＝－p2的应用 【例1】已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F的直线m与抛物线C交 于A，B两点，点O为坐标原点，则∠AOB是（ ） A. 直角 B. 锐角 C. 钝角 D. 与点A，B位置有关 解析： 法一 抛物线C的焦点F的坐标为（0，1），由题意分析可 知，直线m的斜率一定存在.设A（x1，y1），B（x2，y2），直线m的方 程为y＝kx＋1，与抛物线C：x2＝4y联立，得x2－4kx－4＝0，所以x1＋ x2＝4k，x1x2＝－4，所以 · ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋ · ＝－4＋1＝ －3＜0，所以∠AOB为钝角. √ 法二 抛物线焦点在y轴上，则x1x2＝－p2＝－4，y1y2＝ ＝1，则 · ＝x1x2＋y1y2＝－4＋1＝－3＜0，故∠AOB为钝角. 【规律方法】 1. 在涉及一些求斜率之积或者数量积的问题时，往往需要x1x2或y1y2，通 过抛物线特殊性质的记忆，可以避免联立方程组，从而快速求解. 2. 该式子适用于y2＝±2px，在x2＝±2py中，x1x2＝－p2，y1y2＝ . 训练1 已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点 F的直线与抛物线C交于A，B两点，若 · ＝－12，则抛物线C的方 程为（ ） A. x2＝8y B. x2＝4y C. y2＝8x D. y2＝4x 解析：设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），A（x1，y1），B（x2，y2）. √ 法一 设直线AB的方程为x＝my＋ ，联立 消去x，得y2 －2pmy－p2＝0，则y1y2＝－p2，x1x2＝ ＝ ，得 · ＝x1x2＋ y1y2＝ －p2＝－ p2＝－12，解得p＝4（舍负），即抛物线C的方程为y2 ＝8x. 法二 直接运用x1·x2＝ ，y1·y2＝－p2，得 · ＝x1x2＋y1y2＝ －p2 ＝－ p2＝－12，解得p＝4（舍负），即抛物线C的方程为y2＝8x. 二 PART ｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ （α是直线AB的倾斜角，α≠0°）的应用 【例2】经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，倾斜角为30°的直线 l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 设A（x1，y1），B（x2，y2），∵AB的中点M的横坐标为7， ∴x1＋x2＝14，∴14＋p＝ ，∴p＝2. √ 【规律方法】 在求解焦点弦长时，有多种公式可以运用，在选择、填空题的求解中可 以灵活选择，从而实现快速求解. 训练2 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若｜ AF｜＝2｜BF｜，则｜AB｜＝（ ） A. 4 B. √ C. 5 D. 6 解析： 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设点 A，B在准线上的射影分别为点D，C，作BE⊥AD于点 E，设｜BF｜＝m，直线l的倾斜角为θ，则｜AB｜＝ 3m，由抛物线的定义知｜AD｜＝｜AF｜＝2m，｜BC｜ ＝｜BF｜＝m，所以 cos θ＝ ＝ ，所以 sin 2θ＝ .又 y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式｜AB｜＝ ＝ . 三 PART ＋ ＝ 的应用 【例3】（2025·宿迁月考）过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交抛 ... ...
