《创新课堂》1.4.2第二课时　用空间向量研究夹角问题 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(课件网) 第二课时　用空间向量研究夹角问题 1. 会用向量法求线线角、线面角、面面角（数学运算）. 2. 能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系（逻辑推理）. 课标要求 　　在必修课程中，我们学习过异面直线所成的角，直线与平面相交所成的角，以及两个平面相交所成的二面角.这些角能否借助直线的方向向量、平面的法向量来求解呢？今天我们就来研究这个问题. 情境导入 知识点一　两异面直线所成的角 01 知识点二　直线与平面所成的角 02 知识点三　000 03 课时作业 04 目录 01 PART 知识点一 两异面直线所成的角 问题1　（1）两个向量a，b的夹角的余弦值是什么？ 提示： cos ＜a，b＞＝ . （2）异面直线l1，l2所成的角与它们的方向向量u和v的夹角之间有什么 关系？ 提示：相等或互补. （3）能不能借助两个向量的夹角来求两异面直线所成的角？ 提示：可以.可转化为两条异面直线的方向向量的夹角问题来解决. 【知识梳理】 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则 cos θ＝｜ cos ＜u，v＞｜＝ 　｜ ｜　＝ 　 　. ｜ ｜　 　 【例1】（链接教材P36例7）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面 ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝ AD＝1，求PB与CD 所成的角. 解：法一　由题意知｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ， ＝ ＋ ， ＝ ＋ ＋ . 因为PA⊥平面ABCD，所以 · ＝ · ＝ · ＝0， 因为AB⊥AD，所以 · ＝0， 因为AB⊥BC，所以 · ＝0， 所以 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ＋ ）＝ ＝1. 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ， 所以＜ ， ＞＝60°， 所以PB与CD所成的角为60°. 法二　由题意得AB，AD，AP两两垂直，所以建立如图 所示的空间直角坐标系， 则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）， 所以 ＝（－1，0，1）， ＝（1，－1，0）， cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ . 所以＜ ， ＞＝120°， 故PB与CD所成的角为60°. 【规律方法】 求异面直线所成的角的方法 （1）基底法：在一些不适合建立坐标系的题目中，经常采用取定基底的 方法，在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则 与 可分别 作为a，b的方向向量，则 cos θ＝ ，根据条件可以把 与 用基底表示，再进行计算； （2）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出各相关点 的坐标，进而利用公式求解.利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作 角的步骤，使过程变得更简单. 训练1　如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，则异面直线BA1 和AC所成角的大小为 . 60° 解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x 轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A （a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），A1 （a，0，a），所以 ＝（0，－a，a）， ＝（－ a，a，0）.所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ ，所以＜ ， ＞＝120°.又因为异面直线所成角θ的取值范围为0°＜θ≤90°，所以异面直线BA1和AC所成角的大小为60°. 02 PART 知识点二 直线与平面所成的角 问题2　如图，直线AB与平面α相交于点B，AC垂直于平面α，直线AB 与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n， 你认为θ与＜u，n＞之间有什么关系？ 提示： sin θ＝｜ cos ＜u，n＞｜. 【知识梳理】 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ， 直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则 sin θ＝｜ cos ＜u，n ＞｜＝ 　｜ ｜　＝ 　 　. ｜ ｜　 　 　　提醒：（1）直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的 投影所成的角，其范围是［0， ］；（2）若＜u，n＞是一个锐角，则θ ＝ －＜u，n＞；若＜u，n＞是一个钝角，则θ＝＜u，n＞－ . 【例2】如图，正三角形A ... ...