《创新课堂》1.4.2第一课时　用空间向量研究距离问题 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(课件网) 第一课时　用空间向量研究距离问题 1. 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题（数学抽象、数学运算）. 2. 通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用（数学运算、直观想象）. 课标要求 　　几何学中，经常需要计算两个图形间的距离.一个图形内任一点与另一个图形内任一点的距离中的最小值，通常叫做这两个图形的距离.空间中常见的距离有：两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、相互平行的直线之间的距离、相互平行的平面之间的距离等.计算距离是空间度量最基本的问题.如何用向量方法求解这些距离呢？这就是这节课我们要学习的内容. 情境导入 知识点一　点到直线的距离 01 知识点二　点到平面的距离 02 知识点三　直线、平面到平面的距离 03 课时作业 04 目录 01 PART 知识点一 点到直线的距离 问题1　（1）回忆一下，在平面中，若直线l的单位方向向量为u，A是直 线l上的定点，P是直线l外一点.如何求点P到直线l的距离？ 提示：如图，设 ＝a，则向量 在直线l上的投影向量 ＝（a·u）u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的 距离为PQ＝ ＝ . （2）如果问题（1）中的点和直线是空间点和直线，上述距离公式还 成立吗？ 提示：成立. 【知识梳理】 点到直线的距离： 如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一 点.设 ＝a，则向量 在直线l上的投影向量 ＝（a·u）u.在 Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ ＝ 　 　＝ 　 　. 　 　 　　提醒：如果两条直线l，m互相平行，可在其中一条直线l上任取一点 P，将两条平行直线的距离转化为点P到直线m的距离求解. 【例1】（链接教材P34例6（1））如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平 面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为 （　　） D. 4 √ 解析：　如图，以B为坐标原点，BC，BA，BP所在 直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.则B （0，0，0），C（2，0，0），A（0，4，0），P（0， 0，4），故 ＝（2，0，－4）， ＝（0，4，－ 4），所以 在 上的投影向量的长度d＝ ＝ ＝2 ，故点C到直线PA的距离h＝ ＝ ＝2 ，故选A. 【规律方法】 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 （1）建立空间直角坐标系； （2）求直线的单位方向向量u； （3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量a； （4）利用公式d＝ 计算点到直线的距离. 训练1　（1）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若BB1＝2 ，AB＝2， 则点C到直线AB1的距离为 ； 解析：设AC的中点为O，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0， 0），B1（0， ，2 ），C（－1，0，0）， ＝（－1， ， 2 ）， ＝（－2，0，0），所以点C到直线AB1的距离为 ＝ ＝ . 解析：以D为原点，分别以 ， ， 的方向为x轴、y轴、z轴正方 向建立空间直角坐标系（图略）.易知FC1∥AE，∴直线FC1到直线AE的 距离等于点C1到直线AE的距离.易得C1（0，1，1），A（1，0，0），E （0，0， ）.∴ ＝（1，－1，－1）， ＝（－1，0， ）.∴直线 AE的单位方向向量为v＝ ＝（－ ，0， ），设 ＝m，则点 C1到直线AE的距离为 ＝ .∴直线FC1到直线AE的距离 为 . 02 PART 知识点二 点到平面的距离 问题2　已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一 点，如何求平面α外一点P到平面α的距离？ 提示：过点P作PQ⊥平面α，垂足为Q，则线段PQ的长度就是点到平面 α的距离，而 ∥n，所以向量 在法向量n方向上的投影向量 的长 度就等于线段PQ的长度，即PQ＝ . 【知识梳理】 点到平面的距离：如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定 点，P是平面α外一点.过点P作平面α的 ... ...