培优3　空间角的求法（教师版）

INCLUDEPICTURE "培优3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "培优3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　空间角的求法 类型一 异面直线所成的角 求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法：(1)直接平移法(可利用图中已有的平行线)；(2)中位线平移法；(3)补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线). INCLUDEPICTURE "典例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "典例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图，在每个面都为等边三角形的四面体S ABC中，若点E，F分别为SC，AB的中点，试求异面直线EF与SA所成的角． INCLUDEPICTURE "25SX-113.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-113.TIF" \* MERGEFORMAT 【解】　如图，连接CF，SF， INCLUDEPICTURE "25SX-114.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-114.TIF" \* MERGEFORMAT 设四面体S ABC的棱长为a， 则SF＝CF＝a. 因为E为SC的中点， 所以EF⊥SC. 在Rt△SEF中，SE＝SC＝a， 所以EF＝＝a. 取SB的中点为D，连接ED，FD，则FD∥SA，所以∠DFE(或其补角)为异面直线EF与SA所成的角．因为BC＝SA＝a， 而FD∥SA，且FD＝SA，ED∥CB， 且ED＝CB， 所以FD＝ED＝a， 所以FD2＋ED2＝EF2. 故△DEF是等腰直角三角形，可得∠DFE＝45°， 即异面直线EF与SA所成的角是45°. 类型二 直线与平面所成的角 求斜线和平面所成的角的步骤： (1)作(或找)：作(或找)出斜线在平面上的射影，作射影要过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与题目中已知量有关，这样才能便于计算． (2)证：证明某平面角就是斜线和平面所成的角． (3)算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算． INCLUDEPICTURE "典例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "典例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．已知在阳马P ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AB＝AD＝1，则直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． (2)(多选)已知正方体ABCD A1B1C1D1，则下列说法正确的是(　　) A．直线BC1与DA1所成的角为90° B．直线BC1与CA1所成的角为90° C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45° INCLUDEPICTURE "25SX-115.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-115.TIF" \* MERGEFORMAT 【解析】　(1)如图，连接BD，AC交于点O，由题知，四边形ABCD为正方形，则DO⊥AC.连接PO，因为PA⊥平面ABCD，DO 平面ABCD，所以PA⊥DO，而PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，则DO⊥平面PAC，于是∠DPO即为直线PD与平面PAC所成的角．因为PA＝AD＝1，PA⊥AD，所以PD＝＝.易得DO＝DB＝×＝，所以sin ∠DPO＝＝，即直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为. INCLUDEPICTURE "25SX-116.TIF" INCLUDEPICTURE "25SX-116.TIF" \* MERGEFORMAT (2)如图，连接AD1，在正方形A1ADD1中，AD1⊥DA1，因为AD1∥BC1，所以BC1⊥DA1，所以直线BC1与DA1所成的角为90°，故A正确； 在正方体ABCD A1B1C1D1中，CD⊥平面BCC1B1，又BC1 平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.连接B1C，则B1C⊥BC1.因为CD∩B1C＝C，CD，B1C 平面DCB1A1，所以BC1⊥平面DCB1A1，又CA1 平面DCB1A1，所以BC1⊥CA1，所以直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确； 连接A1C1，与B1D1交于点O，则易得OC1⊥平面BB1D1D，连接OB.因为OB 平面BB1D1D，所以OC1⊥OB，∠OBC1为直线BC1与平面BB1D1D所成的角．设正方体的棱长为a，则易得BC1＝a，OC1＝，所以在Rt△BOC1中，OC1＝BC1，所以∠OBC1＝30°，故C错误； 因为C1C⊥平面ABCD，所以∠CBC1为直线BC1与平面ABCD所成的角，易得∠CBC1＝45°，故D正确． 【答案】　(1)A　(2)ABD 类型三 二面角 角度1　定义法 在二面角的棱上 ... ...