章末复习提升（教师版）

章末复习提升 INCLUDEPICTURE "知识体系构建LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "SH1.TIF" INCLUDEPICTURE "核心要点整合LLL.TIF" 要点一　空间几何体的表面积与体积 1．计算空间几何体的表面积和体积，首先要准确确定几何体的基本量，如球的半径，几何体的棱长、高等，然后准确代入相关的公式计算；不规则几何体常常利用转换法、割补法，灵活进行等积变换． 2．利用公式求解表面积、体积，提高数学运算、直观想象等数学素养． 训练1　如图，在正方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点中，有四个顶点A，B1，C，D1恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为(　　) INCLUDEPICTURE "25SX-149.TIF" A．∶1 B．1∶ C．∶2 D．1∶ 解析：选D.设正方体的棱长为a，则正方体的表面积是6a2，正四面体A B1CD1的棱长为a，它的表面积是4××(a)2×＝2a2，因此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为1∶.故选D. 训练2　如图，圆锥的母线长为4，M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周到达点B，这条绳子的最短长度为2，则此圆锥的表面积为(　　) INCLUDEPICTURE "25SX-150.TIF" A．4π B．5π C．6π D．8π 解析：选B.将圆锥侧面展开成一个扇形，如图所示． INCLUDEPICTURE "25SX-151.TIF" 设圆锥的底面半径为r，因为母线长为4，所以侧面展开图扇形的圆心角α＝＝，B′M的长度即为绳子的最短长度．在△AB′M中， B′M＝ ＝＝2， 则cos ＝0，又0<<π，所以r＝1，所以圆锥的表面积S＝π×12＋π×1×4＝5π.故选B. 训练3　若球O是圆锥M的内切球，且圆锥M的轴截面是一个边长为2的正三角形，则球O的体积为(　　) A．π B．π C．π D．π 解析：选B.因为球O是圆锥M的内切球，且圆锥M的轴截面是一个边长为2的正三角形，所以圆锥的高为.设球O的半径为r，则＝sin 30°，解得r＝，故球O的体积V＝π×()3＝π.故选B. INCLUDEPICTURE "25SX-152.TIF" 训练4　如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD, CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，将△ACD沿AC折起到△ACD′的位置，得到图2中的三棱锥D′ ABC，其中平面ABC⊥平面ACD′，则三棱锥D′ ABC的体积为_____，其外接球的表面积为_____． INCLUDEPICTURE "25SX-153.TIF" 解析： INCLUDEPICTURE "25SX-154.TIF" 在题图1中，因为AB⊥AD, CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，所以AC＝，BC＝，得AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC，取AC的中点E，连接D′E，如图，因为AD′＝CD′，所以D′E⊥AC，又平面ACD′∩平面ABC＝AC，D′E 平面ACD′，平面ABC⊥平面ACD′，所以D′E⊥平面ABC.因为BC⊥AC，平面ABC⊥平面ACD′，且平面ABC∩平面ACD′＝AC，BC 平面ABC，所以BC⊥平面ACD′，又因为AD′ 平面ACD′，所以BC⊥AD′，又AD′⊥D′C，D′C∩BC＝C，D′C，BC 平面BD′C，所以AD′⊥平面BD′C，D′B 平面BD′C，得AD′⊥D′B，取AB的中点O，连接OD′，OC.则OB＝OA＝OD′＝OC＝1，所以三棱锥D′ ABC外接球的球心为O，半径为1，综上，三棱锥D′ ABC的体积为××()2×＝，外接球的表面积为4πr2＝4π. 答案：　4π 要点二　空间中的平行与垂直 1．平行、垂直关系的相互转化 INCLUDEPICTURE "25SX-155.TIF" 转化平行、垂直关系的主要依据是平行线垂直平面的传递性：(1)若a∥b，a⊥α，则b⊥α；(2)若a⊥α，b⊥α，则a∥b. 2．通过线线，线面，面面的平行、垂直关系之间的相互转化，提升直观想象和逻辑推理的数学素养． 训练5　如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N，E分别是AA1，AC，AB的中点，求证： INCLUDEPICTURE "25SX-156.TIF" (1)平面MEN∥平面A1BC；　 (2)A1C⊥C1D； (3)平面A1EC⊥平面A1CD. 证明：(1)因为M，N分别是AA1，AC的中点， 所以MN∥A1C，MN 平面A1BC，A1C 平面A1BC，所以MN∥平面A1BC， 同理可证，ME ... ...