5.2.1第二课时　三角函数值的符号及诱导公式一

第二课时　三角函数值的符号及诱导公式一 课标要求 1.会判断给定角的三角函数值的符号（逻辑推理）. 2.掌握诱导公式一，并能运用公式解决相关问题（数学运算）. 情境导入 　　从三角函数的定义及实例可知，任意一个角的正弦、余弦与正切值可能为正数，也可能为负数，也可能为0，它们的符号与什么有关？你能总结出任意一个角三角值的符号的变化规律吗？ 知识点一｜三角函数值在各象限内的符号 问题1　根据三角函数的定义，你能判断α在不同象限时，sin α的符号特点吗？ 提示：由sin α＝y，则可知当α在第一或第二象限时，sin α＞0；当α在第三或第四象限时，sin α＜0. 【知识梳理】 如图所示： 正弦：　一、二　象限正，　三、四　象限负； 余弦：　一、四　象限正，　二、三　象限负； 正切：　一、三　象限正，　二、四　象限负. 　　提醒：（1）简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦；（2）终边落在x轴上角的正弦值为0，正切值也为0；终边落在y轴上角的余弦值为0，正切值不存在. 【例1】　（1）已知点P（tan α，cos α）在第三象限，则角α在（　B　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：因为点P（tan α，cos α）在第三象限，因此tan α＜0，cos α＜0，所以α在第二象限. （2）sin 285°·cos（－105°）＞.（填“＜”或“＞”） 解析：因为285°是第四象限角，所以sin 285°＜0，因为－105°是第三象限角，所以cos（－105°）＜0.所以sin 285°·cos（－105°）＞0. 【规律方法】 1.正弦、余弦函数值的正负规律 2.正切函数值的符号取决于角α终边上点的横、纵坐标x，y的符号，即“同号为正，异号为负”. 训练1　（1）若－＜α＜0，则点P（tan α，cos α）位于（　B　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：由－＜α＜0知α为第四象限角，则tan α＜0，cos α＞0，所以点P在第二象限. （2）已知sin θcos θ＜0，且｜cos θ｜＝cos θ，则角θ是（　D　） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析：由｜cos θ｜＝cos θ，可知cos θ≥0，结合sin θcos θ＜0，得sin θ＜0，cos θ＞0，所以角θ是第四象限角，故选D. 知识点二｜诱导公式一 问题2　终边相同的角的三角函数值有何关系？ 提示：由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等. 【知识梳理】 终边相同的角的同一三角函数的值　相等　，由此得到一组公式： sin（α＋k·2π）＝　sin α　， cos（α＋k·2π）＝　cos α　， tan（α＋k·2π）＝　tan α　， 其中k∈Z. 　　提醒：诱导公式一的结构特点：①其结构特点是函数名相同，左边角为α＋2kπ，右边角为α；②三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现，说明三角函数中自变量α与函数值的对应关系为多对一的关系；③k∈Z即k可取正整数、负整数或0. 【例2】　计算下列各式的值： （1）tan 405°－sin 450°＋cos 750°； 解：tan 405°－sin 450°＋cos 750° ＝tan（360°＋45°）－sin（360°＋90°）＋cos（2×360°＋30°） ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝. （2）sin＋tan（－）. 解：sin＋tan ＝sin（＋4×2π）＋tan（－2×2π） ＝sin＋tan＝＋1. 【规律方法】 利用诱导公式求解任意角的三角函数值的步骤 训练2　计算下列各式的值： （1）sin（－1 395°）cos 1 110°＋cos（－1 020°）·sin 750°； 解：原式＝sin（－4×360°＋45°）·cos（3×360°＋30°）＋cos（－3×360°＋60°）sin（2×360°＋30°） ＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝×＋×＝＋＝. （2）sin（－）＋costan 4π. 解：原式＝sin（－2π＋）＋cos（2π＋）tan（4π＋0 ... ...