5.2.1第一课时　三角函数的定义

第一课时　三角函数的定义 课标要求 1.借助单位圆理解任意角的三角函数的定义（数学抽象）. 2.会求给定角的三角函数值（数学运算）. 情境导入 　　初中我们就学习了锐角三角函数，如图，α为锐角，sin α＝，cos α＝，tan α＝，三角函数值为两个边长的比值. 知识点一｜利用单位圆定义任意角的三角函数 问题1　（1）如图，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为（1，0），点P的坐标为（x，y）.射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），当α变化时，x，y是否也随之变化？ 提示：点P的横坐标x和纵坐标y都在随着角α变化而变化. （2）一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆交点P的坐标是唯一确定的吗？ 提示：对于交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的. （3）他们能不能表示成以角α为自变量的函数呢？ 提示：横纵坐标跟角α的对应关系满足函数的概念，可以表示成以角α为自变量的函数. 【知识梳理】 任意角的三角函数的定义 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P（x，y） 正弦 把点P的　纵坐标y　叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝　sin α　 余弦 把点P的　横坐标x　叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝　cos α　 正切 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α（x≠0） 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数　y＝sin x，x∈R　；余弦函数　y＝cos x，x∈R　；正切函数　y＝tan x，x∈{x｜x≠＋kπ，k∈Z}　. 　　提醒：（1）三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合；（2）三角函数中符号sin α，cos α，tan α是一个整体，而不是sin（或cos，tan）与α的乘积. 【例1】　在直角坐标系的单位圆中，已知α＝－π. （1）画出角α； 解：因为α＝－π＝－2π－，所以角α的终边与－的终边相同，如图，以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为角的始边，顺时针旋转π，与单位圆交于点P，则角α如图所示. （2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标； 解：因为α＝－π，所以点P在第四象限.由（1）知，∠AOP＝，过点P作PM⊥x轴于点M， 则在Rt△MOP中，∠OMP＝，∠MOP＝，OP＝1， 由直角三角形的边角关系，得OM＝，MP＝， 所以得点P的坐标为（，－）. （3）求出角α的正弦、余弦值. 解：根据正弦、余弦函数的定义，得sin（－π）＝－，cos（－π）＝. 【规律方法】 单位圆法求三角函数值的策略 （1）确定角α的终边与单位圆的交点的坐标； （2）根据三角函数的定义sin α＝y；cos α＝x；tan α＝（x≠0）. 训练1　（链接教材P178例1）利用定义求的正弦、余弦和正切值. 解：如图所示，的终边在第二象限且与单位圆的交点为P，过点P作PB⊥x轴于点B， 在Rt△OPB中，｜OP｜＝1，∠POB＝，则｜PB｜＝，｜OB｜＝，则P（－，）. 所以sin＝，cos＝－，tan＝＝－. 知识点二｜利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数 问题2　在直角坐标系中，已知角α终边上任意一点P（x，y）（不与原点O重合），能否直接由点P（x，y）的坐标确定角α的三角函数值？ 提示：能.如图，由于Rt△OP1M1∽Rt△OPM，所以sin α＝y1＝＝＝，同理cos α＝x1＝＝＝. 【知识梳理】 在直角坐标系中，设任意角α的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（x，y），它与原点的距离r＝　　（r＞0），则sin α＝　　，cos α＝　　，tan α＝（x≠0）. 　　提醒：任意角α的三角函数值只与α的大小有关，而与点P在终边上的位置无关. 【例2】　已知角α的终边过点P（－4，3），则cos α＝（　　） A. ... ...