2.1.1　倾斜角与斜率

2.1.1　倾斜角与斜率 课标要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形探索确定直线位置的几何要素（直观想象）. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式（数学运算）. 知识点一｜直线的倾斜角 问题1　（1）在平面中，确定一条直线的几何要素是什么？ （2）在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 【知识梳理】 1.概念：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴　　　　与直线l　　　　的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 2.范围：当直线l与x轴　　　　或　　　　时，规定直线的倾斜角为0°.因此，直线倾斜角α的取值范围为　　　　. 　　提醒：在倾斜角的定义中，要注意三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正向；③小于平角的非负角. 【例1】　（1）〔多选〕下列命题中正确的是（　　） A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为－30° C.当倾斜角为0°时，直线平行于x轴 D.在平面直角坐标系中，只需知道直线上一个定点和它的倾斜角就可以确定这条直线 （2）若直线l向上的方向与y轴正向之间所成的角为30°，则直线l的倾斜角为（　　） A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° 【规律方法】 直线倾斜角的求法及注意点 （1）直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论； （2）注意倾斜角的范围. 训练1　（1）（2025·丽水月考）已知直线l1的倾斜角α1＝60°，直线l2与l1垂直，则直线l2的倾斜角α2为（　　） A.30°　　　B.60° C.120°　　　D.150° （2）〔多选〕设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为（　　） A.α＋45° B.α－135° C.135°－α D.α－45° 知识点二｜直线的斜率 问题2　（1）日常生活中常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度，如图，坡度＝，与三角函数联系，你能得到坡度与倾斜角α的什么关系式？ （2）结合上面的结论，试借助向量的方法求解以下直线倾斜角的正切值： ①直线过O（0，0），P（，1）；②直线过P1（－1，1），P2（，0）；③直线过P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2. 【知识梳理】 1.定义：把一条直线的倾斜角α的　　　　值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写的字母k表示，即k＝　　　　（α≠90°）. 2.公式：如果直线经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），那么斜率公式k＝　　　　.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率. 3.直线的方向向量与斜率的关系 （1）直线P1P2的方向向量＝（x2－x1，y2－y1），当x1≠x2时，直线P1P2与x轴不垂直，其一个方向向量为＝（1，k），其中k为直线P1P2的斜率； （2）当x1＝x2时，直线P1P2与x轴垂直，直线没有斜率，其一个方向向量为（0，1）. 【例2】　（1）下列说法正确的是（　　） A.任何一条直线都有倾斜角和斜率 B.斜率公式中k的值与直线上两点的位置无关 C.若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α D.若直线的倾斜角为α，则其方向向量为（1，tan α） （2）（链接教材P54例1）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求出直线的斜率及一个方向向量，并确定其倾斜角α. ①A（2，3），B（4，5）； ②C（－2，3），D（2，3）； ③P（3，2），Q（3，6）. 【规律方法】 求直线斜率的3种方法 （1）已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α； （2）已知直线上两点坐标，则k＝（x1≠x2）； （3）已知直线的一个方向向量为（x，y），则k＝（x≠0）. 训练2　（1）已知经过点A（2，3），B（a，－3）的直线的倾斜角为，则实数a＝　　　　； （2）已 ... ...