2.2.2　直线的两点式方程

2.2.2　直线的两点式方程 课标要求 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程（逻辑推理、数学运算）. 2.能利用直线的两点式方程推导出直线的截距式方程（直观想象、数学运算）. 情境导入 当前，男子100米短跑世界纪录为9.58秒，女子100米短跑世界纪录为10.49秒.在学校运动会上，如果你参加100米短跑比赛，那么你就会从起点努力冲刺直奔终点，可见，两点确定一条直线，本节课就来研究直线的两点式方程. 知识点一｜直线的两点式方程 问题1　（1）我们知道两点确定一条直线，如图，给定直线l上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2，试用点斜式写出l的方程； 提示：y－y1＝（x－x1）. （2）给定直线l上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2，任选直线上一点P（x，y），其中P不与P1，P2重合，那么与有什么关系？ 提示：＝，即＝. （3）上面两个问题得到的结果所表示的直线一样吗？它们能表示所有直线吗？ 提示：不一样，问题（2）中直线上的动点不能表示点P1（x1，y1）；不能，两者都不能表示垂直于x轴的直线. 【知识梳理】 1.经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线方程为　＝　，我们把它叫做直线的两点式方程，简称　两点式　. 2.当x1＝x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x－x1＝0，即　x＝x1　；当y1＝y2时，直线P1P2　垂直于　y轴，直线方程为y－y1＝0，即y＝y1. 　　提醒：（1）当经过两点（x1，y1），（x2，y2）的直线斜率不存在（x1＝x2）或斜率为0（y1＝y2）时，不能用两点式方程表示；（2）两点式方程与这两个点的顺序无关；（3）把直线的两点式方程化为（x2－x1）（y－y1）＝（y2－y1）（x－x1），则该方程表示过平面内任意不同两点（x1，y1），（x2，y2）的直线. 【例1】（链接教材P63例4）已知△ABC的三个顶点是A（1，3），B（－2，－1），C（1，－1）. （1）求这个三角形三边所在直线的方程； 解：直线AB过点A（1，3），B（－2，－1），其两点式方程为＝，整理得4x－3y＋5＝0，这就是边AB所在直线的方程. 直线AC垂直于x轴，故边AC所在直线的方程为x＝1. 直线BC平行于x轴， 故边BC所在直线的方程为y＝－1. （2）求边AB上的中线所在直线的方程. 解：设边AB的中点为M（a，b）， 则a＝＝－，b＝＝1， 即M（－，1）， 又边AB的中线过点C（1，－1）， 所以＝， 即4x＋3y－1＝0， 所以边AB上的中线所在直线的方程为4x＋3y－1＝0. 【规律方法】 利用两点式求直线方程的策略 （1）首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程； （2）在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程. 训练1　（1）若点P（3，m2－3m）在过点A（2，－1），B（－3，4）的直线上，则m＝1或2； 解析：由直线方程的两点式得＝，∴直线AB的方程为y＝－x＋1，∵点P（3，m2－3m）在直线AB上，则－（m2－3m）＋1＝3，得m＝1或2. （2）已知直线经过点A（1，0），B（m，1），求这条直线的方程. 解：由直线经过点A（1，0），B（m，1），因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在. ①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1； ②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝， 即x－（m－1）y－1＝0. 综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－（m－1）y－1＝0. 知识点二｜直线的截距式方程 问题2　若直线l经过两点P1（a，0），P2（0，b）（a≠0，b≠0），如何求直线的方程？ 提示：由直线的两点式方程得＝，即＋＝1. 【知识梳理】 我们把直线与x轴的交点（a，0）的　横坐标a　叫做直线l在x轴上的　截距　，此时直线l在y轴上的截距是b.方程　＋＝1　由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以把此方程叫做直线 ... ...