培优课　抛物线焦点弦性质的应用

重点解读 1.了解抛物线焦点弦性质的推导过程（逻辑推理、数学运算）. 2.理解和掌握焦点弦的性质及应用（数学运算）. 　过焦点的直线与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦.抛物线的焦点弦是研究抛物线性质的一个重要方面，它具有很多性质： 设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），则 （1）x1·x2＝，y1·y2＝－p2； （2）｜AB｜＝x1＋x2＋p＝，S△OAB＝（α是直线AB的倾斜角，α≠0°）； （3）＋＝为定值（F是抛物线的焦点）； （4）以弦AB为直径的圆与准线相切. 同学们可以课下根据自己的兴趣，推导一下这些性质. 一、x1·x2＝，y1·y2＝－p2的应用 【例1】已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点，则∠AOB是（　　） A.直角 B.锐角 C.钝角 D.与点A，B位置有关 解析：C　法一　抛物线C的焦点F的坐标为（0，1），由题意分析可知，直线m的斜率一定存在.设A（x1，y1），B（x2，y2），直线m的方程为y＝kx＋1，与抛物线C：x2＝4y联立，得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋·＝－4＋1＝－3＜0，所以∠AOB为钝角. 法二　抛物线焦点在y轴上，则x1x2＝－p2＝－4，y1y2＝＝1，则·＝x1x2＋y1y2＝－4＋1＝－3＜0，故∠AOB为钝角. 【规律方法】 1.在涉及一些求斜率之积或者数量积的问题时，往往需要x1x2或y1y2，通过抛物线特殊性质的记忆，可以避免联立方程组，从而快速求解. 2.该式子适用于y2＝±2px，在x2＝±2py中，x1x2＝－p2，y1y2＝. 训练1　已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为（　　） A.x2＝8y B.x2＝4y C.y2＝8x D.y2＝4x 解析：C　设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），A（x1，y1），B（x2，y2）. 法一　设直线AB的方程为x＝my＋，联立消去x，得y2－2pmy－p2＝0，则y1y2＝－p2，x1x2＝＝，得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，解得p＝4（舍负），即抛物线C的方程为y2＝8x. 法二　直接运用x1·x2＝，y1·y2＝－p2，得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，解得p＝4（舍负），即抛物线C的方程为y2＝8x. 二、｜AB｜＝x1＋x2＋p＝（α是直线AB的倾斜角，α≠0°）的应用 【例2】经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：B　设A（x1，y1），B（x2，y2），∵AB的中点M的横坐标为7，∴x1＋x2＝14，∴14＋p＝，∴p＝2. 【规律方法】 　在求解焦点弦长时，有多种公式可以运用，在选择、填空题的求解中可以灵活选择，从而实现快速求解. 训练2　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若｜AF｜＝2｜BF｜，则｜AB｜＝（　　） A.4 B. C.5 D.6 解析：B　由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设点A，B在准线上的射影分别为点D，C，作BE⊥AD于点E，设｜BF｜＝m，直线l的倾斜角为θ，则｜AB｜＝3m，由抛物线的定义知｜AD｜＝｜AF｜＝2m，｜BC｜＝｜BF｜＝m，所以cos θ＝＝，所以sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式｜AB｜＝＝. 三、＋＝的应用 【例3】（2025·宿迁月考）过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若｜AF｜＝6，则｜BF｜＝（　　） A.9或6　　B.6或3 C.9　　　　D.3 解析：D　法一　设点A为第一象限内的点，A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＞0，y1＞0，则由题意可得F（2，0），｜AF｜＝x1＋2＝6，则x1＝4，由＝8x1，得y1＝4，所以kAB＝＝2，直线AB的方程为y＝2（x－2），将直线AB的方程代入y2＝8x化简得x2－5x＋4＝0，所以x2＝1，所以｜BF｜＝x2＋2＝3. 法二　由抛物线 ... ...