培优课　椭圆的综合问题

重点解读 1.理解和掌握与椭圆有关的最值（范围）问题的解决方法（数学运算）. 2.掌握直线与椭圆的综合问题及椭圆的实际应用问题（逻辑推理、数学运算）. 一、与椭圆有关的最值（范围）问题 【例1】（2025·开封质检）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A（－2，0），离心率为. （1）求椭圆C的标准方程； 解：设椭圆C的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）. 由题意得解得c＝1，所以b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. （2）斜率为1的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，求｜PQ｜的最大值. 解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为y＝x＋t. 由得7x2＋8tx＋4（t2－3）＝0， 由Δ＝（8t）2－112（t2－3）＞0，得0≤t2＜7，则x1＋x2＝－t，x1x2＝， 所以｜PQ｜＝·｜x1－x2｜ ＝· ＝· ＝·， 又0≤t2＜7，所以当t＝0时， 可得｜PQ｜max＝. 【规律方法】 　解决与椭圆有关的最值问题的常用方法 （1）利用定义转化为几何问题处理； （2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征，进而求解； （3）利用函数最值的研究方法，将其转化为函数的最值问题来处理，此时应注意椭圆中x，y的取值范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值问题来求解. 训练1　（1）若点（x，y）在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为（　　） A.1 B.－1 C.－ D.以上都不正确 解析：C　设＝k，则y＝k（x－2）.由消去y，整理得（k2＋4）x2－4k2x＋4（k2－1）＝0，由题意得Δ＝16k4－4×4（k2－1）（k2＋4）≥0，解得－≤k≤，所以的最小值为－.故选C. （2）在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离. 解：设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，代入＋＝1， 并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0， 由Δ＝9m2－16（m2－7）＝0得m2＝16，∴m＝±4， 故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4， 显然y＝x－4即3x－2y－8＝0距l最近，它们之间的距离即为所求最短距离，且y＝x－4与椭圆的切点即为所求点P， 故所求最短距离为d＝＝＝. 由得 即P（，－）. 二、直线与椭圆的综合问题 【例2】已知点F（0，1），直线l：y＝4，P为曲线C上的任意一点，且｜PF｜是P到l的距离的. （1）求曲线C的方程； 解：设P（x，y），由已知＝｜y－4｜， 整理得＋＝1，即为曲线C的方程. （2）若经过点F且斜率为k（k≠0）的直线交曲线C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，求证：为定值. 解：证明：设经过点F且斜率为k（k≠0）的直线的方程为y＝kx＋1，与曲线C的方程联立得消去y整理得（4＋3k2）x2＋6kx－9＝0，Δ＝36k2＋4×9×（4＋3k2）＝144（1＋k2）＞0恒成立， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则｜MN｜＝｜x1－x2｜＝×＝，x1＋x2＝－， 设线段MN的中点为T（x0，y0），则x0＝＝－，y0＝kx0＋1＝，线段MN的垂直平分线的斜率为－， 方程为y－＝－（x＋），令x＝0，解得y＝，即为点H的纵坐标， ∴｜FH｜＝1－＝，∴＝＝，即为定值. 【规律方法】 　解决直线与椭圆综合问题的注意点 （1）根据条件设出合适的直线方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论（也可将方程设成用y表示x的形式）； （2）在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算更简单； （3）不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用. 训练2　（2025·嘉兴月考）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的2倍，F是椭圆C的一个焦点，点M（0，2），且｜MF｜＝. （1）求椭圆C的方程； 解：由题意，可得解得故椭圆C的方程为＋＝1. （2）若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且满足｜AM｜＝｜BN｜，求直线l的方程. 解：根据题意可得，点A必在点B的上方，才有｜AM｜＝｜BN｜. 当l的斜率不存在时，｜AM｜＝2－，｜BN｜＝ ... ...