培优课　圆锥曲线的离心率问题

重点解读 1.掌握圆锥曲线的离心率的求法（逻辑推理、数学运算）. 2.会求圆锥曲线的离心率的最值及范围问题（数学运算）. 一、定义法 【例1】　（1）（2025·南京质检）直线y＝－x与椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（　　） A. 　B. 　C.－1 　D.4－2 （2）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，P是双曲线C上的一点，且｜PF1｜＝5，｜PF2｜＝3，∠F1PF2＝120°，则双曲线C的离心率是　　　　. 【规律方法】 　根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程，进而求出e. 训练1　已知F为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，l为双曲线的一条渐近线，F到直线l的距离为，过F且垂直于x轴的直线交双曲线C于A，B两点，若｜AB｜＝10，则C的离心率为（　　） A.2 B. C.4 D.6 二、几何法 【例2】　（2025·无锡月考）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线的左、右两支于P，Q两点，若△PQF2为正三角形，则双曲线C的离心率为　　　　. 【规律方法】 　在椭圆或双曲线中，涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得e的值. 训练2　过椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点F1，F2作倾斜角分别为30°和60°的两条直线l1，l2.若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（　　） A. 　B.－1 　C. 　D. 三、齐次式法 【例3】　（1）已知椭圆＋＝1（a＞0，b＞0）左顶点为A，右焦点为F，B为椭圆上一点，·＝0，cos∠BAF＝，则椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. （2）设F1，F2为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过左焦点F1的直线l与C在第一象限相交于一点P，若｜F1P｜＝｜F1F2｜，且直线l倾斜角的余弦值为，则C的离心率为　　　　. 【规律方法】 　借助题设条件或几何图形建立关于参数a，b，c的等式，结合a，b，c之间的关系，化简为参数a，c的关系式进行求解，此时要注意椭圆的离心率e∈（0，1），双曲线的离心率e∈（1，＋∞）. 训练3　（1）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0），A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. （2）已知双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点都在E上，且AB，CD的中点为E的两个焦点，且2｜AB｜＝3｜BC｜，则E的离心率是　　　　. 四、离心率的范围问题 【例4】　（1）已知点F是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　） A.（1，＋∞） B.（1，2） C.（2，1＋） D.（1，1＋） （2）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，若离心率e＝，则椭圆C的离心率的取值范围为（　　） A.（0，－1） B. C. D.[－1，1） 【规律方法】 　求离心率范围的常用思路 （1）把已知的不等关系用a，b，c表示出来，消去b后构造关于e的不等式求范围，也可以求出相关的范围，再表示出离心率并求范围； （2）将已知条件转化为不等关系； （3）利用椭圆、双曲线的性质构造不等关系. 训练4　（1）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右顶点到其渐近线的距离不大于a，则离心率e的取值范围为（　　） A.[，＋∞） B.[，＋∞） C.（1，] D.（1，] （2）已知椭圆＋＝1（a＞b＞c＞0，其中c为椭圆的半焦距）的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作该圆的切线.切点为T，且｜PT｜的最小值不小于（a－c），则椭圆的离心率e的取值范围是　　　　. 1.设 ... ...