培优课　圆锥曲线中的综合问题

重点解读 1.理解和掌握圆锥曲线中求最值（范围）问题的基本方法（数学运算）. 2.掌握圆锥曲线中定点、定值问题与探索性问题的基本解题思路（逻辑推理、数学运算）. 一、最值（范围）问题 【例1】　（1）已知双曲线－＝1与双曲线－＝1（其中a＞0，b＞0），设连接它们的顶点构成的四边形的面积为S1，连接它们的焦点构成的四边形的面积为S2，则的最大值为（　　） A. B.1 C. D.2 （2）（2025·南京月考）抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝－4，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的一个动点，Q为曲线C：x2－10x＋y2－2y＋22＝0上的一个动点，则｜PF｜＋｜PQ｜的最小值为（　　） A.7　　　B.7 C.8　　　D.8 【规律方法】 　圆锥曲线中最值（范围）问题的求法 （1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形的特征及意义，则考虑利用图形性质来解决； （2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值（范围），求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的性质法等. 训练1　如图所示，点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于｜MB｜，则椭圆上的点到点M的距离d的最小值为　　　　. 二、定点、定值问题 【例2】　（2025·无锡月考）设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点. （1）若l的斜率为2，求｜AB｜的值； （2）求证：·为定值. 【规律方法】 　定点、定值问题的解题策略 （1）定点：首先将要研究的直线、曲线的方程表示出来，一是方程变形为特定形式后观察，如把直线的方程变为点斜式来观察定点；二是把参数提出来，把参数看作变量，令参数的系数为零后解出定点； （2）定值：实质是求值，即把要研究的量求出来，求出来的量为常数，即为定值. 训练2　已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一个顶点为D（0，－1），离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆右焦点且斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆相交于两点A，B，与y轴交于点E，线段AB的中点为P，直线l过点E且垂直于直线OP（其中O为坐标原点），证明：直线l过定点. 三、探索性问题 【例3】　已知直线x＋y＋＝0与椭圆E：＋y2＝1有且只有一个公共点. （1）求椭圆E的方程； （2）是否存在实数λ，使椭圆E上存在不同的两点P，Q关于直线2x－y－λ＝0对称？若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由. 【规律方法】 　有关探索性问题的解题技巧 （1）通过特殊值、特殊位置先求出点的坐标、直线的方程等，再证明求出来的量符合题目条件； （2）假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正确，则不存在. 训练3　（2025·杭州质检）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点A（2，0）的直线l交C于M，N两点，当MN与x轴垂直时，△MNF的周长为9. （1）求C的方程； （2）在x轴上是否存在点P，使得∠OPM＝∠OPN恒成立（O为坐标原点）？若存在求出坐标，若不存在说明理由. 1.已知M（x0，y0）是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若·＜0，则y0的取值范围是（　　） A.（－，） B.（－，） C.（－，） D.（－，） 2.已知点P是椭圆C：＋＝1上一点，M，N分别是圆（x－6）2＋y2＝1和圆（x＋6）2＋y2＝4上的点，那么｜PM｜＋｜PN｜的最小值为（　　） A.15 B.16 C.17 D.18 3.直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2＝，则l的横截距（　　） A.为定值－3 B.为定值3 C.为定值－1 D.不是定值 4.在椭圆F：＋y2＝1（a＞1）中，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，C，D两点均在直线x＝a上，且C，D两点的纵坐标分别为2和1，判断： ... ...