章末整合提升(3)

一、圆锥曲线的定义及应用 厘清椭圆、双曲线、抛物线的定义，会应用椭圆、双曲线、抛物线的定义解决有关轨迹方程、焦点三角形、最值（范围）等问题. 【例1】（1）已知双曲线C的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在C上.若｜F1A｜＝2｜F2A｜，则cos∠AF2F1＝（　B　） A.　　　　B. C.　　　　D. 解析：由e＝＝2，得c＝2a，如图，由双曲线的定义得｜F1A｜－｜F2A｜＝2a，又｜F1A｜＝2｜F2A｜，故｜F1A｜＝4a，｜F2A｜＝2a.又｜F1F2｜＝2c＝4a，所以cos∠AF2F1＝ ＝＝.故选B. （2）平面内有两个定点F1（－5，0）和F2（5，0），动点P满足｜PF1｜－｜PF2｜＝6，则动点P的轨迹方程是－＝1（x≥3）； 解析：｜PF1｜－｜PF2｜＝6＜｜F1F2｜＝10，根据双曲线的定义可知点P的轨迹为双曲线的右支，且a＝3，c＝5，故b2＝16，故动点P的轨迹方程为－＝1（x≥3）. （3）已知点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点M（3，4），则｜PM｜＋｜PN｜的最小值是2－1. 解析：由抛物线C：y2＝4x知，焦点F（1，0），准线方程为x＝－1，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，由抛物线定义知｜PN｜＋｜PM｜＝｜PQ｜－1＋｜PM｜＝｜PF｜＋｜PM｜－1，当F，P，M三点共线时，｜PM｜＋｜PN｜取得最小值，则最小值为｜MF｜－1＝－1＝2－1. 【反思感悟】 1.在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程. 2.涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义结合解三角形的知识解决. 3.与圆锥曲线有关的最值问题，常利用定义转化，结合几何图形，利用几何意义去解决. 　　提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件. 二、圆锥曲线的标准方程 求圆锥曲线方程的常用方法 （1）直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程； （2）定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量； （3）待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数. 【例2】（1）在平面直角坐标系中，经过点P（2，－）且离心率为的双曲线的标准方程为－＝1； 解析：由e＝＝，得＝，当焦点在x轴时，设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），代入P（2，－），得－＝1，解得a2＝7，b2＝14.当焦点在y轴时，设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），代入P（2，－），得－＝1，无解.所以a2＝7，b2＝14，即双曲线的标准方程为－＝1. （2）已知点P在椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上，点F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，满足PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为12，椭圆C的焦距为8，则椭圆C的标准方程为＋＝1； 解析：椭圆C的焦距为8，则｜F1F2｜＝2c＝8，由PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为12，得｜PF1｜·｜PF2｜＝12，即｜PF1｜·｜PF2｜＝24，又｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝＝64，所以（｜PF1｜＋｜PF2｜）2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜｜PF2｜＝112，即4a2＝112，a2＝28，又c＝4，则b2＝a2－c2＝12，则椭圆C的标准方程为＋＝1. （3）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上 一点，且PQ⊥OP.若｜FQ｜＝6，则C的标准方程为y2＝6x. 解析：法一　由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的标准方程为y2＝6x. 法二　由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，｜PF｜2＝｜OF｜·｜FQ｜，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0（舍去），所以C的标准方程为y2＝6x. 【反思感悟】 求圆锥曲线方程的一般步骤 　一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤： （1）定形：指的是二次曲 ... ...