6.4.1平面几何中的向量方法 & 6.4.2向量在物理中的应用举例 1.会用向量法解决简单的平面几何问题，体会向量在数学问题的作用. 2.掌握用向量知识解决一些简单的平面几何问题的方法. 3.会用向量法解决简单的力学问题以及实际问题，把物理问题转化为数学问题. 共线向量定理 平面向量基本定理 ∥ A、P、B三点共线? 线性运算 且方向相同 数量积 坐标运算 如何运用这些向量知识解决平面几何和物理中的问题呢？ 例1 DE是△ABC的中位线，用向量方法证明： DE//BC，DE=12BC. ? 想一想：我们要证明的结论可以转化为怎样的向量问题？ 解决这一向量问题的思路是怎样的？ 证明DE//BC，DE=12BC可以归结为证明????????=12????????，利用向量的共线来解决. ? 可以把问题进行转化，选取{????????,????????}为基底，用????????,???????? 分别表示????????，????????进行证明. ? 一、平行问题 转化 运算 翻译 三步曲 用向量解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，讲平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离，夹角等问题； （3）将运算结果“翻译”成几何关系. 方法归纳 二、长度问题 第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题: 例2 如图示，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？ 解： 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系: 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系: 追问：还可以选择其他基底吗？还可以用什么方法解决以下问题？ 如图，以A为坐标原点， AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． x y 例2 如图示，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？ 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 基底法 坐标法 (2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3) 把运算结果“翻译”成几何关系. 转化 ①选取基底； ②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找相应关系； ④把几何问题向量化． ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找相应关系； ④把几何问题向量化． 方法归纳 √ 练一练 解： 2. 如图示，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，求∠EMF的余弦值. x y 练一练 平面几何中的向量方法 1. 证明线段相等,转化为证明向量的长度相等;求线段的长,转化为求向量的模. 2. 证明线段、直线平行,转化为证明向量平行. 3. 证明线段、直线垂直,转化为证明向量垂直. 4. 几何中与角相关的问题,转化为向量的夹角问题. 5. 对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题,通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系,通过向量的坐标运算解决平面几何问题. 方法归纳 例3 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包、两个拉力夹角越大越费力如何从数学的角度解释这种现象？ 思考： （1）当θ为何值时，|F1|最小，最小值是多少？ （2）|F1|能等于|G|吗？为什么？ 用向量法解决物理问题的一般步骤： (1) 把物理问题中的相关量用向量表示； (2) 转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； (3) 将结果还原为物理问题，解释物理现象． 要点归纳 用向量法解决物理问题时，正确做出相应的几何图形有助于我们建立数学模型.向量在物理中的应用，如求力的合力与分解，力做的功等. A 练一练 例4 如图，一条河两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从 ... ...
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