向量的减法运算、加法运算 讲义 解析版

向量的减法运算、加法运算 【知识梳理】 知识点一　向量加法的定义及其运算法则 1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 2.向量求和的法则 向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作 OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 知识点二　向量加法的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 技巧：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 知识点三：相反向量 1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. 2.性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量. (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 知识点四：向量的减法 1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示. 3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. 【题型归纳】 题型一：向量加法法则 1．（23-24高一下·重庆涪陵）如图，在平行四边形中，（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定图形，利用向量加法的平行四边形法则计算即得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 2．（23-24高一下·河北张家口）已知四边形ABCD为正方形，则下列等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量加法的几何运算逐一判断. 【详解】对于A：，A错误； 对于B：，B错误； 对于C：，C错误； 对于D：，D正确； 故选：D. 3．（2024高一下·全国）已知四边形为菱形，则下列等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，结合平面向量加法的运算性质进行判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D错误. 故选：C 题型二：向量加法的运算律 4．（2024高一下·全国·专题练习）下列等式不正确的是( ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 【答案】B 【分析】根据向量加法的运算律判断即可. 【详解】对于①，，正确； 对于②，，错误； 对于③，，正确. 故选：B 5．（21-22高一下·广东梅州·期中）等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量加法的运算律计算可得； 【详解】解： 故选：B 6．（21-22高一·江苏·课后作业）已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据向量的加法运算律判断 【详解】因为向量的加法满足交换律和结合律， 所以，，，，都等于， 故选：A 题型三：向量加法法则的几何应用 7．（22-23高一下·辽宁抚顺·期中）在中，D是BC的中点，E是AD的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用向量的线性运算求出结果 【详解】在中，D是BC的中点，E是AD的中点， 则． 故选：C. 8．（23-24高一下·贵州遵义·期末）如图，向量，，，则向量可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用图形结合向量线性运算即可. 【详解】. 故选：A. 9．（22-23高一下· ... ...