第13讲 空间角与距离 练习（解析版）

第13讲空间角与距离 【题型1】求异面直线所成的角 例题1．如图，分别是空间四边形中的中点，，求异面直线与所成角的大小. 【详解】如图，取中点，连接，又分别是的中点， 所以，则异面直线与所成角为或其补角， 由，则， 又异面直线所成角范围为，则异面直线与所成角为. 【针对训练】 1．如图，在四面体中，，， 分别为 的中点 (1)求证：直线和为异面直线. (2)求直线和所成角的大小. 【详解】（1）由平面，故平面，而平面，， 又平面，故平面，故直线和为异面直线； （2）取中点，连接、，由于、分别为、的中点， 所以，且， 故直线和所成角，即或其补角， 因为，故，因为，故，故， 所以直线和所成角为. 2．如图，在正三棱柱中，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【详解】（1）连接交于，连接，易得为中点． 在正三棱柱中，因为、分别为、中点，所以 又因为平面，平面，所以平面 （2）取中点，连接． 在正三棱柱中，设，因为、分别为、中点， 可得，且，所以四边形是平行四边形 所以，或其补角即为异面直线与所成的角． 在中，， 满足， 则是直角三角形， 所以． 即异面直线与所成角的余弦值为． 3．如图，在三棱锥中，底面，若二面角的大小为30°，，，，是上靠近点的三等分点，是上的一点，且. (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求三棱锥P－MNC的体积. 【详解】（1）由底面，且底面，所以， 又由，，且平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角，所以， 在直角中，由，可得， 在直角中，由，可得， 在直角中，由，可得， 则， 设异面直线与所成的角为， 则. （2）因为，可得点到平面的距离等于点到平面的距离的， 过点作， 因为底面，且底面，所以， 因为，且平面，所以平面， 即为点到平面的距离， 在直角中，可得，所以， 又由是上靠近点的三等分点，可得， 所以三棱锥的体积为. 4．如图，在正方体中，是的中点． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求证：平面； (3)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 【详解】（1）连接，在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以或其补角即为异面直线和所成角， 又为等边三角形，所以，所以异面直线和所成角为； （2）连接，设直线交直线于点，连接， 因为在正方体中，底面是正方形，所以为中点， 又因为为的中点，所以， 又因为平面平面，所以直线平面． （3）.因为正方体的棱长为1，所以. 所以， 故三棱锥的体积为 5．如图，已知分别是三棱锥的棱的中点，与所成的角为60°，且，求EG的长． 【详解】因为分别是三棱锥的棱的中点， 所以为的中位线，故且， 同理GH为的中位线，故且， 所以，所以四边形是平行四边形且． 同理且． 因为与所成的角为，所以或， 当时，为等边三角形，故； 当时，为等腰三角形，故． 6．在四棱柱中，侧面都是矩形，底面是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求. 【详解】解：连接、， 在四棱柱中，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 所以，异面直线和所成的角为， 因为四边形、均为矩形，则，， 在菱形中，，， 由余弦定理可得， 设，则， 因为，由勾股定理可得，即，解得. 【题型2】求线面角 例题1．如图.已知正方体. (1)求与底面所成的角； (2)设正方体的棱长为a，求与底面所成的角的余弦值. 【详解】（1）因为底面，所以是与底面所成的角. 因为侧面是正方形，所以. 即与底面所成的角为. （2）如图，连接，则. 因为底面， 所以是与底面所成的角，同时. 在中，，，， 所以，即与底面所成角余弦值为. 【针对训练】 1．如图，在正四面体中，是棱的中点，求直线与底面所成的角的正弦值． 【详解】解：设正四面体的棱长为1． 如图，作平面，垂足为， 则是的重心，故. 过点作，， ... ...