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课件网) 章末总结 第十一章 立体几何初步 高二下学期数学人教B版必修第四册 目录 单元知识梳理 03 01 02 单元专题归纳 高考命题点分析 单元知识梳理 01 单元专题归纳 02 专题1 与球有关的切、接问题 1 正方体的内切球、外接球、棱切球 与正方体的各个面都相切的球、经过正方体各个顶点的球、与正方体的各条棱 都相切的球分别称为正方体的内切球、外接球、棱切球. 图11-1 求解切、接问题的常用工具是截面图，球与正方体 （边长为 ）的切、接问题中的常用截面图有三种，如图 11-1所示.通过截面图确定正方体的棱长与球的半径之间的 关系，将空间问题转化为平面问题是求解的关键. ①如图11-1（1），取的是正方体的中截面（与底面平行，且与两底面等距的截 面叫中截面），圆 为其内切球的一个大圆，从图中可以看出内切球的直径等于正 方体的棱长，则内切球的半径 . ②如图11-1（2），取的是正方体的一个对角面（分别经过棱柱或棱台的两条不 相邻的侧棱的截面叫对角面），圆 为其外接球的一个大圆，从图中可以看出外接 球的直径等于正方体的体对角线长，则外接球的半径 .此时一定要注意圆的 内接四边形不是正方形，而是矩形. ③如图11-1（3），取的是正方体的一个对角面，圆 为其棱切球的一个大圆， 从图中可以看出棱切球的直径等于正方体的面对角线长，则棱切球的半径 . 例1（1）若一球内切于正方体，则正方体的棱长与球的半径之比为_____. 【解析】若一球内切于正方体，则球的直径和正方体的棱长相等，故正方体的棱长 与球的半径之比为 . （2）若一球与正方体的所有棱都相切，则正方体的棱长与球的半径之比为_____. 【解析】若一球与正方体的所有棱都相切，则球的直径和正方体的面对角线的长相 等，故正方体的棱长与球的半径之比为 . （3）正方体的内切球和外接球的体积之比为_____. 【解析】设正方体的棱长为,则正方体内切球的直径等于 ，外接球的直径等于正方 体体对角线的长 ．根据球的体积公式可得，正方体的内切球和外接球的体积之 比为 . 2 长方体的外接球问题 长方体的体对角线为其外接球的直径.设长方体的长、宽、高分别为,, ,则长方 体外接球的半径 . 例2 (全国Ⅱ卷)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为_____. 【解析】依题意得，长方体的体对角线长为 ，记长方体的外接 球的半径为，则有，因此球的表面积为 . 3 圆柱、直棱柱、直棱锥的外接球问题 图11-2 （1）圆柱的外接球：如图11-2所示，在圆柱中， 为圆柱底 面的一条直径，是一条母线，则该圆柱外接球的球心就是线段 的 中点，设圆柱的底面半径为,圆柱的高为,球的半径为 ,则 . 图11-3 （2）直棱柱的外接球：如图11-3所示，可以将直棱柱的外接圆柱 作出来，则直棱柱的外接球即其外接圆柱的外接球，设外接圆柱 的底面半径为，直棱柱的高为，外接球的半径为 ，则 . 图11-4 （3）直棱锥的外接球：如图11-4所示，可先将直棱锥 补成 直棱柱，再将其外接圆柱作出来，设外接圆柱的底面半径为 ， 直棱柱的高为,外接球的半径为,则 . 例3 已知圆柱的侧面积为 ，其外接球的体积为，则 的最小值为_ __. 【解析】如图11-5，设圆柱外接球半径为，圆柱的底面半径为，高为 , 图11-5 由圆柱的侧面积满足 ，得 ， 则，当且仅当，即， 时取等号， （必须验证等号成立的条件） 所以的最小值为1，即 ， 所以外接球的体积的最小值为 ． 例4 (2025·福建省福州市期末)已知三棱锥的顶点都在球 的球面上，底面 是边长为3的等边三角形．若三棱锥的体积的最大值为，则球 的 表面积为( ) A A. B. C. D. 【解析】如图11-6，设球的半径为，的外心为 ， 图11-6 连接,,,当三棱锥体积最大时，在上，由 ... ...
