(课件网) 平行四边形性质的综合运用 平行四边形 平行四边形的性质: A B D C ①平行四边形的对边_____. ②平行四边形的对角_____. ③平行四边形的邻角_____. O ④平行四边形的对角线_____. 相等 相等 互补 互相平分 这节课我们就用这些性质解决平行四边形有关周长和面积的问题. 知识点 1 平行四边形的周长问题 例 7 如图，□ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，其周长为 16，且△ AOB 的周长比 △BOC 的周长小 2 . 求边 AB 和 BC 的长. A B D C O AB + BC = 8 AB + OA + OB BC + OB + OC AB + 2 = BC 试着分析题干，你能得到哪些信息？ 解 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC(平行四边形的对角线互相平分). ∵△AOB 的周长 + 2 = △BOC 的周长， ∴AB + OA + OB + 2 = BC + OB + OC， 即 AB + 2 = BC. 又∵ □ ABCD 的周长等于 16， ∴2(AB + BC) = 16，即 4AB + 4 = 16. ∴AB = 3，BC = 5. A B D C O 1. 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， AB ＝5．若 △AOB 的周长比 △BOC 的周长小 1， 则 BC 的长为_____. AB + 1 = BC 6 2. 如图，在 □ABCD 中，EF 经过对角线 AC、BD 的交点 O， 且与边 AB、CD 分别相交于点 E、F，AB ＝ 4，AD ＝ 3， OF ＝ 1.3，求四边形 BCFE 的周长． 解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥CD，OA ＝ OC，BC ＝ AD ＝ 3， ∴∠OAE ＝ ∠OCF． 在△AOE 和△COF 中， ∵∠OAE ＝∠OCF，OA＝OC，∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF (ASA)． ∴AE＝CF，OE＝OF， ∴四边形 BCFE 的周长为 EF + CF + BC + BE ＝ EF + BC + AE + BE 2. 如图，在 □ABCD 中，EF 经过对角线 AC、BD 的交点 O， 且与边 AB、CD 分别相交于点 E、F，AB ＝ 4，AD ＝ 3， OF ＝ 1.3，求四边形 BCFE 的周长． ∴EF＝2OF＝2×1.3＝2.6， ＝ EF + BC + AB ＝2.6 + 3 + 4＝9.6． 知识点 2 平行四边形的面积问题 例 8 如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC = 21 cm，BE ⊥ AC，垂足为点 E，且 BE = 5 cm，AD = 7 cm. 求 AD 与 BC 之间的距离. A B C D E x H 等面积法：同一个图形（或等底等高的图形）的面积相等，通过建立面积等式来求解未知量或证明几何关系. S□ ABCD = 2S△ABC = AC · BE 解 设 AD 与 BC 之间的距离为 x， 则 □ABCD 的面积等于 AD · x. ∵S□ ABCD = 2S△ABC = AC · BE， ∴AD · x = AC · BE，即 7x = 21×5. ∴ x = 15(cm). 即 AD 与 BC 之间的距离为 15 cm. A B C D E x H 1. 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， 过点 O 的直线 EF 分别交 AD 于点 E，交 BC 于点 F， S△AOE ＝3，S△BOF ＝7，则 □ABCD 的面积是 ( ) A. 48 B. 40 C. 32 D. 24 3 7 3 S□ ABCD = 4S△OBC B 2. 如图，在 □ABCD 中，过点 D 作 DE ⊥ AB，垂足为 点 E，过点 B 作 BF ⊥ AC，垂足为点 F．若 AB ＝6， AC ＝ 8，DE ＝ 4，求 BF 的长． 解: 在□ABCD 中，S△ABC ＝ S□ABCD ． 又∵ DE ⊥ AB，BF ⊥ AC， ∴ AC · BF ＝ AB · DE． ∵AB＝6，AC＝8，DE＝4， ∴ ×8BF＝ ×6×4． ∴BF＝3． 平行四边形的对角线分平行四边形 ABCD 为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？ A B C D O 思考 1 解：相等. 理由如下： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA＝OC，OB＝OD. ∵ △ADO 与△ODC 等底同高， ∴ S△ADO = S△ODC. 同理可得S△ADO = S△ODC = S△BCO = S△AOB . ①平行四边形的对角线把平行 四边形分为四个面积相等的 三角形，且都等于平行四边 形面积的四分之一. ②相对的两个三角形全等. 归 纳 A B C D O A B C D O E F 如图，AC，BD 交于点 O，EF 过点 O，平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等吗？ 思考 2 A B C D O E F ... ...
