(课件网) 平行四边形与邻边有关的计算和证明 平行四边形 已知平行四边形 ABCD，你能得出哪些结论？ E F A B D C ① AB∥CD，AD ∥ BC， ② AB = CD，AD = BC， ③ ∠A = ∠C，∠B = ∠D， ④ AE = CF . 探索新知 例 3 已知平行四边形的周长是 24，相邻两边的长度相差 4. 求该平行四边形相邻两边的长. A B D C 解 如图，设 AB 的长为 x，则边 BC 的长为 x + 4. 根据已知，可得 2( AB + BC ) = 24， 即 2( x + x + 4 ) = 24， 解得 x = 4. 所以，该平行四边形相邻两边的长分别为 4 和 8. x +4 = 8. 1. 已知平行四边形 ABCD 的周长为 32，AB = 4， 则 BC 的长为_____. 解 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB = CD，AD = BC， ∵平行四边形 ABCD 的周长是 32， ∴2( AB + BC ) = 32， ∴2( 4 + BC ) = 32， ∴BC = 12． A B D C 12 2. 如图，平行四边形 ABCD 周长是 28 cm，△ABC 的周长 是 22 cm，则 AC 长（ ） A. 14 cm B. 12 cm C. 10 cm D. 8 cm 解 ∵□ ABCD 的周长是 28 cm， ∴AB + BC = 14 cm， ∵△ABC 的周长是 22 cm， ∴AC = 22－( AB + BC ) = 8 cm. D B C D A 在平行四边形中，两邻边长之和等于周长的一半. B C D A 归纳总结 设□ ABCD 的周长是 l， 则 AB + BC = BC + CD = CD + DA = DA + AB = . 例 4 如图，在 □ ABCD 中，∠ADC 的平分线与 AB 相交于点 E. 求证： BE + BC = CD. 证明 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB = CD (平行四边形的对边相等)， AB∥CD (平行四边形的对边平行). ∴∠CDE =∠AED. 又∵DE 是∠ADC 的平分线， ∴∠ADE =∠CDE. ∴∠ADE =∠AED. ∴AD = AE. 又∵AD = BC (平行四边形的对边相等)， ∴AE = BC. BE + BC = BE + AE = AB = CD. A B E C D 1. 如图，平行四边形 ABCD 的周长为 20，AE 平分 ∠BAD，若 CE = 2，则 AB 长为（ ） A. 8 B. 10 C. 6 D. 4 B C D A E AB + BC = 10，CE = 2， AB + BE = 10－2 = 8， AB = BE = 4. D 2. 在平行四边形 ABCD 中，若 AE 平分∠DAB，AD ＝ 5 cm， AB ＝ 9 cm，则 EC ＝_____cm. A B C D E 5 5 4 4 平行四边形一内角的平分线与对边相交于一点，可得到一个等腰三角形. 归纳总结 A B C D E 【选自教材第83页 练习 第1题】 1. 已知平行四边形的周长是 32 cm，相邻两边长的比为 1 ∶ 3. 求该平行四边形各边的长. 解: 设平行四边形的一边长为 x cm，其邻边长为 3x cm. 依题意有 2(x + 3x)＝ 32，解得 x ＝ 4. ∴ 3x ＝12. ∴ 该平行四边形各边的长分别是 4 cm，12 cm，4 cm，12 cm. 2. 已知平行四边形的一组邻边的长相等，且等于其较短的对角线 的长，而此对角线的长为 4 cm. 求此平行四边形各内角的大小 及各边的长. 【选自教材第83页 练习 第2题】 解:如图. 由题意得 AB ＝AD ＝BD， ∴ △ABD 为等边三角形，∴ ∠A ＝60°. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥DC，AB ＝DC，AD ＝BC，∴ ∠ADC ＝180°－∠A ＝120°. ∴ □ ABCD 各内角的大小分别为 60°，120°，60°，120°. 又∵ AB＝DC，AD＝BC，AB＝AD， ∴ AB＝BC＝CD＝DA＝4 cm， ∴ □ ABCD 各边的长都是 4 cm. 3. 如图，在 □ ABCD 中，AE 平分 ∠BAD，BE 平分 ∠ABC， 且 AE、BE 相交于 CD 上的一点 E . 求证：AE ⊥ BE. 又若 AE、BE 相交于 □ ABCD 外（或内）的一点 E， 结论是否仍然成立？ 【选自教材第83页 练习 第3题】 A B D C E A B D C E 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC，∴ ∠BAD +∠ABC ＝180°. ∵ AE 平分∠BAD，BE 平分∠ABC， ∴ ∠EAB ＝ ∠BAD，∠ABE ＝ ∠ABC. ∴ ∠EAB + ∠ABE ＝ (∠BAD + ∠ABC)＝ 90°. ∴ ∠AEB ＝90°，即 AE ⊥ BE. 又若 AE、BE 相交于 ABCD 外(或内) 的一 ... ...
