第2课时 直线与平面垂直的性质 新课程标准解读 核心素养 1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系 数学抽象 2.归纳出直线与平面垂直的性质定理 逻辑推理 3.了解直线与平面、平面与平面的距离 直观想象 【问题】 （1）如果直线a垂直于一个平面α，直线b与直线a平行，那么直线b与平面α是否垂直？猜测结果并说明理由； （2）如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样的位置关系？猜测结果并说明理由. 知识点一 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线 符号语言 图形语言 作用 ①线面垂直 线线平行；②作平行线 【想一想】 在长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'所在直线与平面ABCD位置关系如何？这两条直线又有什么样的位置关系？ 知识点二 线面距与面面距 1.直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离. 2.平面与平面的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 到另一个平面的距离都相等. 【想一想】 是不是任意的直线与平面、平面与平面间都有距离？ 1.△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是（ ） A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定 2.如图，平行四边形ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝（ ） A.2 B.3 C. D. 3.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则直线B1C1到平面ABCD的距离是 . 题型一 线面垂直有关性质的理解 【例1】 已知直线m，n和平面α，若n⊥α，则“m α”是“n⊥m”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 通性通法 1.线面垂直的性质定理揭示了“垂直”与“平行”这两种特殊位置关系之间的转化. 2.常用的线面垂直的性质还有：①a⊥α，b∥a b⊥α；②a⊥α，a⊥β α∥β. 【跟踪训练】 （多选）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，则下列选项正确的是（ ） A.AD1与平面A1DC相交 B.AD1⊥平面A1DC C.AD1与MN异面 D.AD1∥MN 题型二 直线与平面垂直的性质的应用 【例2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1. 通性通法 证明线线平行常用的方法 （1）利用线线平行定义：证共面且无公共点； （2）利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线； （3）利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行； （4）利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直； （5）利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行. 【跟踪训练】 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 题型三 空间中的距离问题 【例3】 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中求出下列距离： （1）点A到平面BB1D1D的距离； （2）点C到平面BDC1的距离. 通性通法 求点到平面的距离的两种方法 （1）构造法：根据定义构造垂直于平面的直线，确定垂足位置，将所求线段化归到三角形中求解； （2）等积变换法：将所求距离看作某个几何体（多为棱锥）的高，利用体积相等建立方程求解. 无论是求直线与平面的距离还是求平面与平面的距离，最终都转化为点到平面的距离. 【跟踪训练】 （2024·济南月考）如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，求AD到平面PBC的距离. ... ...
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