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课件网) 6.4.1 平面几何中的向量方法 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 新课程标准解读 核心素养 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题 数学建模 2.体会向量在解决数学问题中的作用 数学运算、逻辑推理 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 向量集“数”与“形”于一身，既有代数的抽象性又有几何的直 观性，用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而 向量是几何研究的一个有效工具. 【问题】 怎样用向量方法研究几何问题？ 知识点 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 1. 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为向量问题. 2. 通过向量运算，研究几何元素之间的关系. 3. 把运算结果“翻译”成几何关系. 【想一想】 用向量法如何证明平面几何中AB⊥CD？ 提示：证明或计算 · ＝0，从而得出AB⊥CD. 1. 若 ＝3a， ＝－5a，且｜ ｜＝｜ ｜，则四边形ABCD 是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 等腰梯形 D. 非等腰梯形 解析：∵ ＝3a， ＝－5a，∴ ∥ ，｜ ｜≠｜ ｜，∵｜ ｜＝｜ ｜，∴四边形ABCD是等腰梯形.故选C. 2. （2024·中山月考）在△ABC中，已知A（4，1），B（7，5），C （－4，7），则BC边的中线AD的长为 . 解析：BC的中点为D（ ，6）， ＝（－ ，5），∴｜ ｜ ＝ ＝ . 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 题型一 利用向量证明平面几何问题 【例1】 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中 点，求证：AF⊥DE. 证明：法一 设 ＝a， ＝b， 则｜a｜＝｜b｜，a·b＝0. 又 ＝ ＋ ＝－a＋ ， ＝ ＋ ＝b＋ ， 所以 · ＝（b＋ ）·（－a＋ ） ＝－ － a·b＋ ＝－ ｜a｜2＋ ｜b｜2＝0. 故 ⊥ ，即AF⊥DE. 法二 如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分 别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 设正方形的边长为2，则A（0，0），D（0，2），E（1，0），F （2，1）， 则 ＝（2，1）， ＝（1，－2）. 因为 · ＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0， 所以 ⊥ ，即AF⊥DE. 通性通法 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）利用向量基底法求解：①选取基底；②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得 结果转化为几何问题. （2）利用向量坐标法求解：①建立适当的平面直角坐标系；②把相 关向量坐标化；③利用向量的坐标运算找到相应关系；④利用 向量关系回答几何问题. 【跟踪训练】 如图，已知在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过 点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明： （1）DE∥BC； 证明：如图，以E为坐标原点， 所在直线为 x轴， 所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 令｜ ｜＝1，则｜ ｜＝1，｜ ｜＝2. ∵CE⊥AB，AD⊥AB，且AD＝DC， ∴四边形AECD为正方形. ∴可求得各点坐标分别为E（0，0），B（1， 0），C（0，1），D（－1，1），A（－1，0）. （1）∵ ＝（－1，1）－（0，0）＝（－1，1）， ＝（0，1）－（1，0）＝（－1，1）， ∴ ＝ ，∴ ∥ ，即DE∥BC. （2）D，M，B三点共线. 证明：如图，连接MB，MD. ∵M为EC的中点，∴M（ 0， ）， ∴ ＝（－1，1）－（ 0， ）＝（ －1， ）， ＝（1，0）－（ 0， ）＝（ 1，－ ）， ∴ ＝－ ，∴ ∥ . 又∵MD与MB有公共点M，∴D，M，B三点共线. 题型二 利用平面向量求几何中的长度 【例2】 在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝ 2，求对角线AC的长. 解：设 ＝a， ＝b，则 ＝a－b， ＝a＋b， ∵｜ ｜＝｜a－b｜＝ ＝ ＝ ＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝ ， 又｜ ｜2＝｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2 ＝1＋4＋2a·b＝6， ∴ ... ...
