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课件网) 第五章 一元函数的导数及应用 人教A版2019选择性必修第二册·高二 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 （第2课时） 新知导入 上节课学习了函数的极值的概念，其刻画的是函数的局部性质，你能说说求函数极值概念吗？ 若函数y=f (x)在点x=a的函数值f (a)比它在点x=a 附近其他点的函数值都小，且f ′(a) = 0；同时在点x=a附近的左侧f ′(x) < 0,右侧f ′(x) > 0,就把a叫做函数y=f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y=f (x)的极小值. 若函数y=f (x)在点x=b的函数值f (b)比它在点x=b 附近其他点的函数值都大，且f ′(b) = 0；同时在点x=b附近的左侧f ′(x) > 0,右侧f ′(x) < 0,就把b叫做函数y=f (x)的极大值点，f (a)叫做函数y=f (x)的极大值. 新知导入 在必修一中我们还学习了函数的最大值和最小值，它们又是如何定义的？ 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值. 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （2）对于任意的x∈I ，都有f(x)≥m ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = m 那么，称m是函数y=f(x)的最小值 . 新知导入 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质. 也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大(小)值点，那么在x= x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值. 但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小. 如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大(小)值点，那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值. 函数在什么条件下一定有最大、最小值？它们与函数极值关系如何？ 新知探究 问题1 下图是函数y=f(x), x∈[a, b]的图象，你能找出它的极小(大)值吗 x y O a b x1 x2 x3 x4 x5 x6 极大值： f(x2), f(x4), f(x6) 极小值： f(x1), f(x3), f(x5) 追问 进一步,你能找出函数在区间[a, b]上的最小(大)值吗？ 最大值：f(a) 最小值：f(x3) 新知探究 问题2 观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ x y O a b x y O a b x1 x2 x3 x4 x5 最大值：f(b); 最小值：f(a) 最大值：f(x3); 最小值：f(x4) 新知探究 追问1 以上函数既有最大值，又有最小值，是不是所有的函数都有最大（小）值呢？ 不是! 新知探究 追问2 什么样的函数一定会有最大值和最小值呢？ O x y a b y=f(x) y=f(x) O x y a b O x y a b y=f(x) O x y a b y=f(x) 有最大无最小 无最大无最小 有最大有最小 无最大有最小 结论1:在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值. 结论2:若开区间(a,b)内的连续函数有最值，则该最值必在极值点处取得. 新知探究 结论: 一般地，如果在闭区间[a, b]上函数y=f(x)的图象是一条连续曲线,它必有最大值和最小值. x y O a b x1 x2 x3 x4 x5 x6 追问3 那闭区间呢？ 最大值：f(a) 最小值：f(x3) 追问4 如何结合函数的极值来求函数的最大（小）值呢？ 求最值的方法：只要把函数y=f (x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值. 新知探究 追问4 函数最值与极值有什么关系？ 1.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的. 2.函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个. 3.极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值. 典例分析 例6 ... ...
