【培优方案】9.3 培优课 平面向量中的最值（范围）问题（讲义）（学生版）苏教版数学必修第二册

学习讲义部分 第九章　平面向量 9.1　向量概念 【基础知识·重落实】 知识点一 1.（1）大小　方向　2.（2）①有向线段　　长度　模　｜｜ 知识点二 　0　1个单位　相同或相反　平行 相等　相同　相等　相反 想一想 1.提示：0与0不相同，0是实数，0是向量，有方向.0的方向是任意的. 2.提示：不一定.当b＝0时，a与c不一定平行，因为0与任何向量平行. 3.提示：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等. 知识点三 2.0°　180°　90° 自我诊断 1.B　质量、路程、密度、功只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量. 2.AC　对于A，平行向量的方向相同或相反，故A正确；对于B，零向量的模为0，故B错误；对于C，向量与向量长度相等，方向相反，向量与向量是相反向量，故C正确；对于D，与非零向量a共线的单位向量有两个，一个与a同向，一个与a反向，故D错误.故选A、C. 3.C　对于A，由＝，可得四边形ABCD为平行四边形.与互为相反向量，故A错误；对于B，与互为相反向量，故B错误；对于C，与满足相等向量的定义，故C正确；对于D，与方向不同不满足相等向量的定义，故D错误.故选C. 【典型例题·精研析】 【例1】　BC　对于A，单位向量的方向不一定相同，故A错误；对于B，物理学中的作用力与反作用力大小相等，方向相反，是一对共线向量，故B正确；对于C，如图所示，方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量在一条直线上，是共线向量，故C正确；对于D，直角坐标平面上的x轴，y轴只有方向，没有大小，不是向量，故D错误.故选B、C. 跟踪训练 　D　对于A，两个向量的模相等，但是方向不一定相同，故A错误；对于B，两个向量不能比较大小，故B错误；对于C，向量平行只是方向相同或相反，不能得到向量相等，故C错误；对于D，若一个向量的模等于0，则这个向量是0，故D正确.故选D. 【例2】　解：（1）与共线的向量有，，. （2）与的模相等的向量有，，，，，，，，，，. （3）与长度相等且方向相同，则＝. （4）虽然//，且｜｜＝｜｜，但它们方向相反，所以这两个向量不相等. 母题探究 1.解：与长度相等、方向相反的向量有，. 2.解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝｜｜＝1. 跟踪训练 　（1），　（2）6　解析：（1）在平行四边形ABCD和ABDE中，∵＝，＝，∴＝，∴与向量相等的向量为，. （2）由（1）知，＝，∴E，D，C三点共线，∴｜｜＝｜｜＋｜｜＝2｜｜＝6. 【例3】　解：（1）当向量的起点C是图中所圈的格点时，可以作出与相等的向量. 这样的格点共有6个，除去点A外，还有5个，所以共有5个向量与相等. （2）与长度相等的共线向量（除外）共有5×2＋1＝11（个）. （3）每个小正方形的边长为1，则对角线长为， 每个小正方形中存在两个与平行且模为的向量，一共有12个正方形， 故与平行且模为的向量共有24个. 跟踪训练 　解：（1）向量，，，，如图所示. （2）由题意知＝，∴AD＝BC，AD∥BC， 则四边形ABCD为平行四边形， ∴＝， 则B地相对于A地的位置为“北偏东60°，距离为6 km”. 【例4】　解：因为平行四边形ABCD中，｜｜＝｜｜，所以该平行四边形为菱形， 又由题意知∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形， 故向量与的夹角为∠BAC＝30°， 向量与的夹角大小与∠ABD相等， 且∠ABD＝60°，即它们的夹角为60°. 跟踪训练 　C　如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角.在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角为120°.故选C. 随堂检测 1.B　对于A，≠，故A错误；对于B，｜｜＝｜｜，故B正确；对于C，与不共线，故C错误；对于D，向量不能比较大小，故D错误.故选B. 2.ABD　C中，平行四边形两对边所表示的向量也可能方向相反，故C错误，A、B、D都正确.故选A、B、D. 3.C　根据正 ... ...