9.3.1 平面向量基本定理 新课程标准解读 核心素养 1.通过具体实例抽象出平面向量基本定理 数学抽象 2.理解平面向量基本定理的含义，了解基底的含义 数学抽象 3.能应用平面向量基本定理解决相应问题 逻辑推理 木块放置在斜面上，设F1是垂直于斜面向下的力，F2是平行于斜面向下的力，则G＝F1＋F2（如图），即重力G分解为力F1和F2，从而G可以用力F1和F2来表示.这里F1和F2是不共线的两个力. 【问题】 平面内任一向量是否都可以用两个不共线的向量来表示？ 知识点一 平面向量基本定理 1.定理：如果e1，e2是同一平面内两个 的向量，那么对于这一平面内的 向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝ . 2.基底：两个 的向量e1，e2叫作这个平面的一组 . 提醒 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底.同一非零向量在不同基底下的分解是不同的；（2）基底给定时，分解形式唯一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值. 知识点二 平面向量的正交分解 平面内任一向量a可以用一组基底e1，e2表示成a＝ 的形式.我们称λ1e1＋λ2e2为向量a的分解.当e1，e2所在直线 时，这种分解也称为向量a的 . 【想一想】 平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系吗？ 1.下列说法正确的个数是（ ） ①一个平面内只有一对不共线向量可组成表示该平面所有向量的一组基底；②一个平面内有无数对不共线向量可组成该平面所有向量的基底；③零向量不能作为基底向量. A.0 B.1 C.2 D.3 2.（多选）若向量e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量中不能作为一组基底的是（ ） A.e1－e2，e2－e1 B.e1－e2，e1＋e2 C.2e2－e1，－2e2＋e1 D.2e1＋e2，4e1＋2e2 3.如图所示，向量可用向量e1，e2表示为 . 题型一 平面向量基本定理的理解 【例1】 （1）设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的是 （填序号）； （2）（2024·镇江月考）已知a，b是一组基底，实数x，y满足（3x－4y）a＋（2x－3y）b＝6a＋3b，则x－y＝ . 通性通法 对基底的理解 （1）两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线.若共线，则不能作基底，反之，则可作基底； （2）一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2. 【跟踪训练】 1.（多选）设点O是 ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是（ ） A.与 B.与 C.与 D.与 2.已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为 . 题型二 用基底表示向量 【例2】 （链接教科书第27页例1）如图，在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，用a，b表示，. 通性通法 用基底表示向量的两种基本方法 （1）运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直到用基底表示为止； （2）通过列向量方程（组），利用基底表示向量的唯一性求解，即若a＝λ1e1＋μ1e2，且a＝λ2e1＋μ2e2，则来构建方程（组），使得问题获解. 【跟踪训练】 1.如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则以a，b为基底时，可表示为 ，以a，c为基底时，可表示为 . 2.如图，在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点， ... ...
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