9.3.3 向量平行的坐标表示 新课程标准解读 核心素养 1.能用坐标表示平面向量共线的条件 数学运算 2.会用坐标表示平面向量共线的条件解决问题 逻辑推理 在平面直角坐标系中，向量可以用坐标表示.设向量a＝（x1，y1）， b＝（x2， y2）（a≠0），如果a⊥b，那么x1， y1， x2， y2满足关系x1x2＋y1y2＝0. 【问题】 （1）怎样用坐标反映两向量平行呢？ （2）当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？ 知识点 向量平行的坐标表示 设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a≠0），则a∥b . 提醒 （1）a∥b（b≠0） a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系；（2）a∥b x1y2－x2y1＝0，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化了代数运算；（3）a∥b ＝，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例.通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误. 【想一想】 两向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）共线的坐标条件能表示成＝吗？ 1.（多选）下列说法中，正确的是（ ） A.若向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a∥b，则＝ B.若向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a∥b，则x1y2＝x2y1 C.向量a＝（2，3）与向量b＝（－4，－6）同向 D.若a＝（－3，2），b＝（6，－4），则a∥b 2.若向量a＝（1，2），b＝（2，3），则与a＋b共线的向量可以是（ ） A.（2，1） B.（－1，2） C.（6，10） D.（－6，10） 3.（2024·无锡月考）已知A（1，1），B（2，－4），C（x，－9），且∥，则x＝ . 题型一 向量共线的判定与证明 【例1】 （1）下列各组向量是平行向量的有（ ） A.a＝，b＝（－2，－3） B.a＝（0.5，4），b＝（－8，64） C.a＝（2，3），b＝（3，4） D.a＝（2，3），b＝ （2）已知A（2，1），B（0，4），C（1，3），D（5，－3），判断与是否共线？如果共线，它们的方向是相同还是相反？ 通性通法 向量共线的判定与证明的方法 （1）利用向量共线定理，由a＝λb（b≠0）推出a∥b； （2）利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0. 【跟踪训练】 已知A，B，C三点的坐标分别为A（－1，0），B（3，－1），C（1，2），且＝，＝，求证：∥. 题型二 利用向量共线求参数 【例2】 （链接教科书第39页例1）（1）已知向量a＝（1，2），b＝（λ，1），（a＋2b）∥（2a－2b），求λ的值； （2）已知a＝（x，1），b＝（4，x），a与b共线且方向相同，求x. 通性通法 利用向量共线的坐标表示求参数的思路 （1）利用共线向量定理a＝λb（b≠0）列方程（组）求参数； （2）利用向量共线的坐标表示直接求参数. 提醒 当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求解. 【跟踪训练】 已知O（0， 0）， A（1， 2）， B（4， 5），点P坐标满足＝＋t（t∈R）. （1）t为何值时，点P在x轴上？t为何值时，点P在y轴上？ （2）四边形OABP能否构成一个平行四边形？若能，求t的值；若不能，请说明理由. 题型三 坐标法判断三点共线问题 【例3】 如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明： （1）DE∥BC； （2）D，M，B三点共线. 通性通法 1.三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：（1）证明向量平行；（2）证明两个向量有公共点. 2.若A，B，C三点 ... ...
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