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课件网) 第2课时 向量数量积的坐标表示 新课程标准解读 核心素养 1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个 平面向量的夹角 数学抽象 2.能用坐标表示平面向量垂直的条件 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 已知两个向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）. 【问题】 （1）如何用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b？ （2）a⊥b如何用坐标来表示？ 知识点 向量数量积的坐标表示 1. 向量数量积的坐标计算公式 已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝ . 2. 向量长度（模）的坐标计算公式 （1）设a＝（x，y），则a2＝ ，即｜a｜ ＝ ； （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则｜ ｜ ＝ . x1x2＋y1y2 x2＋y2 3. 向量夹角的坐标计算公式 设两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），它们的夹角为 θ，则 cos θ＝ ＝ . 4. 向量垂直的充要条件 若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.即 a⊥b . x1x2＋y1y2＝0 1. （多选）下列结果中正确的是（ ） A. 若a＝（1，0），b＝（0，2），则a⊥b B. 若a＝（1，2），b＝（－1，－2），则a＝b C. 若a＝（1，2），b＝（－1，－2），则｜a｜＝｜b｜ D. 若a＝（1，2），b＝（0，1），则｜a＋2b｜＝4 解析： 对于A，a·b＝0，则a⊥b，故A正确；对于B，a＝ －b，故B错误；对于C，｜a｜＝ ，｜b｜＝ ，故C正确； 对于D，a＋2b＝（1，4），｜a＋2b｜＝ ，故D错误.故选 A、C. √ √ 2. 已知a＝（－2，4），b＝（1，2），则a·b＝（ ） A. 0 B. 10 C. 6 D. －10 解析： 由题意知，a·b＝（－2）×1＋4×2＝6.故选C. √ 3. （2024·宿迁宿豫中学月考）已知向量a＝（－3，1），b＝（1， －2），则向量a与b夹角的大小为 . 解析：由题意得， cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝－ ，又因为0≤＜a，b＞≤π，所以＜a，b＞＝ . 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 题型一 向量数量积的坐标运算 【例1】 （链接教科书第35页例1）已知向量a＝（－1，2），b＝ （3，2）. （1）求a·（a－b）； 解： 法一 因为a＝（－1，2），b＝（3，2）， 所以a－b＝（－4，0）. 所以a·（a－b）＝（－1，2）·（－4，0）＝（－1）×（－ 4）＋2×0＝4. 法二 a·（a－b）＝a2－a·b＝（－1）2＋22－[（－1）×3＋2×2] ＝4. （2）求（a＋b）·（2a－b）. 解：因为a＋b＝（－1，2）＋（3，2）＝（2，4）， 2a－b＝2（－1，2）－（3，2）＝（－2，4）－（3，2）＝（－5， 2）， 所以（a＋b）·（2a－b）＝（2，4）·（－5，2）＝2×（－5）＋ 4×2＝－2. 通性通法 向量数量积坐标运算的方法 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性 质.解题时通常有三种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行 数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计 算；三是若题中涉及图形，则要充分利用向量终点坐标与起点坐标之 差求出向量的坐标，再由向量坐标求得数量积. 【跟踪训练】 1. （2024·无锡月考）已知a＝（1，1），b＝（2，5），c＝（3， x），若（8a－b）·c＝30，则x＝（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 解析： 由题意可得，8a－b＝（6，3），又（8a－b）·c＝ 30，c＝（3，x），所以18＋3x＝30，解得x＝4. √ 2. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上， ＝2 ，则 · ＝ . 解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A （0，2），E（2，1），D（2，2），B（0， 0），C（2，0），因为 ＝2 ，所以F （ ，2）.所以 ＝（2，1）， ＝（ ，2） －（2，0）＝（－ ，2），所以 · ＝（2， 1 ... ...
