(
课件网) 9.3.1 平面向量基本定理 新课程标准解读 核心素养 1.通过具体实例抽象出平面向量基本定理 数学抽象 2.理解平面向量基本定理的含义，了解基底的 含义 数学抽象 3.能应用平面向量基本定理解决相应问题 逻辑推理 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 木块放置在斜面上，设F1是垂直于斜面向下的力，F2是平行于斜面向 下的力，则G＝F1＋F2（如图），即重力G分解为力F1和F2，从而 G可以用力F1和F2来表示.这里F1和F2是不共线的两个力. 【问题】 平面内任一向量是否都可以用两个不共线的向量来表示？ 知识点一 平面向量基本定理 1. 定理：如果e1，e2是同一平面内两个 的向量，那么对于 这一平面内的 向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝ . 2. 基底：两个 的向量e1，e2叫作这个平面的一组 . 不共线 任一 λ1e1＋λ2e2 不共线 基 底 提醒 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都 可以作为一组基底.同一非零向量在不同基底下的分解是不同的； （2）基底给定时，分解形式唯一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确 定的数值. 知识点二 平面向量的正交分解 平面内任一向量a可以用一组基底e1，e2表示成a＝ 的形式.我们称λ1e1＋λ2e2为向量a的分解.当e1，e2所在直 线 时，这种分解也称为向量a的 . λ1e1＋ λ2e2 互相垂直 正交分解 【想一想】 平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上 有什么区别和联系吗？ 提示：由平面向量共线定理可知，任意一个向量可以用一个与它共线 的非零向量来线性表示，而且这种表示是唯一的.因此平面向量基本 定理是向量共线定理的推广，它们都是向量分解“唯一性”定理. 1. 下列说法正确的个数是（ ） ①一个平面内只有一对不共线向量可组成表示该平面所有向量的一 组基底；②一个平面内有无数对不共线向量可组成该平面所有向量 的基底；③零向量不能作为基底向量. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 √ 解析： 因为一个平面内的基底不唯一，即可以有无数对不共线 向量组成该平面的基底，所以说法①不正确，说法②正确；因为零 向量与任一向量都共线，所以它不能作为基底中的向量，说法③正 确.故选C. 2. （多选）若向量e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量中不 能作为一组基底的是（ ） A. e1－e2，e2－e1 B. e1－e2，e1＋e2 C. 2e2－e1，－2e2＋e1 D. 2e1＋e2，4e1＋2e2 √ √ √ 解析： 不共线的向量能作为基底，对于A，因为e1－e2＝－ （e2－e1），所以向量e1－e2，e2－e1共线，故A正确；对于B，e1 －e2与e1＋e2不共线，能作为一组基底，故B错误；对于C，因为 2e2－e1＝－（－2e2＋e1），所以2e2－e1，－2e2＋e1共线，故C正 确；对于D，因为2e1＋e2＝ （4e1＋2e2），所以2e1＋e2，4e1＋ 2e2共线，故D正确.故选A、C、D. 3. 如图所示，向量 可用向量e1，e2表示为 . 解析：如图， ＝3e2， ＝4e1，∴ ＝4e1＋3e2. 4e1＋3e2 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 题型一 平面向量基本定理的理解 【例1】 （1）设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2 与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的是 （填序号）； ①②④ 解析： ①设e1＋e2＝λe1（λ∈R），则无解， ∴e1＋e2与e1不共线，即e1，e1＋e2能作为一组基底；②设e1－ 2e2＝k（e2－2e1）（k∈R），则e1－2e2＝－2ke1＋ke2， ∴无解，∴e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2， e2－2e1能作为一组基底；③∵e1－2e2＝－ （4e2－2e1）， ∴e1－2e2与4e2 ... ...
