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课件网) 9.3.3 向量平行的坐标表示 新课程标准解读 核心素养 1.能用坐标表示平面向量共线的条件 数学运算 2.会用坐标表示平面向量共线的条件解 决问题 逻辑推理 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 在平面直角坐标系中，向量可以用坐标表示.设向量a＝（x1， y1）， b＝（x2， y2）（a≠0），如果a⊥b，那么x1， y1， x2， y2满 足关系x1x2＋y1y2＝0. 【问题】 （1）怎样用坐标反映两向量平行呢？ （2）当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？ 知识点 向量平行的坐标表示 设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a≠0），则 a∥b . x1y2－x2y1＝0 提醒 （1）a∥b（b≠0） a＝λb.这是几何运算，体现了向量a 与b的长度及方向之间的关系；（2）a∥b x1y2－x2y1＝0，其中a ＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.这是代数运算，由于不需引进参数 λ，从而简化了代数运算；（3）a∥b ＝ ，其中a＝（x1， y1），b＝（x2，y2）且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例.通 过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误. 【想一想】 两向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）共线的坐标条件能表示成 ＝ 吗？ 提示：不能，当x2，y2有一者为零时，比例式没有意义. 1. （多选）下列说法中，正确的是（ ） A. 若向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a∥b，则 ＝ B. 若向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a∥b，则x1y2＝x2y1 C. 向量a＝（2，3）与向量b＝（－4，－6）同向 D. 若a＝（－3，2），b＝（6，－4），则a∥b 解析： 对于A，当y1y2＝0时不成立，故A错误；对于C中，向 量（2，3）与向量（－4，－6）反向，故C错误；B、D正确.故选 B、D. √ √ 2. 若向量a＝（1，2），b＝（2，3），则与a＋b共线的向量可以是 （ ） A. （2，1） B. （－1，2） C. （6，10） D. （－6，10） 解析： a＋b＝（1，2）＋（2，3）＝（3，5）＝ （6，10）. 故选C. √ 3. （2024·无锡月考）已知A（1，1），B（2，－4），C（x，－ 9），且 ∥ ，则x＝ . 解析： ＝（1，－5）， ＝（x－1，－10），根据 ∥ ，得－5（x－1）＝1×（－10），解得x＝3. 3 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 题型一 向量共线的判定与证明 【例1】 （1）下列各组向量是平行向量的有（ ） A. a＝ ，b＝（－2，－3） B. a＝（0.5，4），b＝（－8，64） C. a＝（2，3），b＝（3，4） D. a＝（2，3），b＝ √ 解析： A： ×（－3）－ ×（－2）＝－ ＋ ＝0， ∴a∥b.B：0.5×64－4×（－8）＝32＋32＝64≠0，∴a，b 不平行.C：2×4－3×3＝8－9＝－1≠0，∴a，b不平行.D： 2×2－3× ＝4＋4＝8≠0，∴a，b不平行. （2）已知A（2，1），B（0，4），C（1，3），D（5，－3）， 判断 与 是否共线？如果共线，它们的方向是相同还是 相反？ 解： ＝（0，4）－（2，1）＝（－2，3）， ＝ （5，－3）－（1，3）＝（4，－6）. 法一 ∵（－2）×（－6）－3×4＝0，∴ 与 共线，通过观察 可知， 和 方向相反. 法二 ∵ ＝－2 ，∴ 与 共线且方向相反. 通性通法 向量共线的判定与证明的方法 （1）利用向量共线定理，由a＝λb（b≠0）推出a∥b； （2）利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0. 【跟踪训练】 已知A，B，C三点的坐标分别为A（－1，0），B（3，－1），C （1，2），且 ＝ ， ＝ ，求证： ∥ . 证明：由题意知 ＝（2，2）， ＝（－2，3）， ＝（4，－1）， ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， 设点E（x1，y1），F（x2，y2）. ∴ ＝（x1，y1）－（－1，0）＝ ， ＝（x2，y2）－（3，－1）＝ . ∴（x1，y1）＝ ，（x2，y2）＝ ... ...
