10.2第二课时　相互独立事件概率的应用

第二课时　相互独立事件概率的应用 课标要求 1.进一步掌握事件相互独立的定义（数学抽象）. 2.会求较为复杂相互独立事件的概率（数学运算）. 知识点一｜相互独立事件乘法公式的应用 【例1】　在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立. （1）求乙答对这道题的概率； 解：（1）记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件A，B，C， 设乙答对这道题的概率P（B）＝x， 由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A，B，C是相互独立事件. 由题意，并根据事件的独立性定义， 得P（）＝P（）P（）＝（1－）×（1－x）＝，解得x＝， 所以乙答对这道题的概率为P（B）＝. （2）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率. 解：（2）设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件M，设丙答对这道题的概率P（C）＝y. 由（1），并根据事件的独立性定义， 得P（BC）＝P（B）P（C）＝×y＝，解得y＝. 甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P（）＝P（）P（）P（）＝（1－）×（1－）×（1－）＝. 因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件， 所以所求事件概率为P（M）＝1－＝. 【规律方法】 用相互独立事件的乘法公式解题的步骤 （1）用恰当的字母表示题中有关事件； （2）根据题设条件，分析事件间的关系； （3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和（相互乘积的事件之间必须满足相互独立）； （4）利用乘法公式计算概率. 训练1　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响. （1）求甲、乙各射击一次均击中目标的概率； 解：（1）记事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”， 依题意知事件A和事件B相互独立， 因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝×＝. （2）求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率. （2）记事件Ai表示“甲第i次射击击中目标”（其中i＝1，2，3，4），并记“甲4次射击恰有3次连续击中目标”为事件C， 则C＝A1A2A3∪A2A3A4，且A1A2A3与A2A3A4是互斥事件， 由于A1，A2，A3，A4之间相互独立， 所以Ai与（i，j＝1，2，3，4，且i≠j）之间也相互独立. 由于P（A1）＝P（A2）＝P（A3）＝P（A4）＝， 故P（C）＝P（A1A2A3∪A2A3A4） ＝P（A1）P（A2）P（A3）P（）＋P（）P（A2）·P（A3）P（A4） ＝（）3×＋×（）3＝. 知识点二｜相互独立事件的综合应用 【例2】　一次数学考试有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分，否则得0分.在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能答对的概率分别为p，，，且每道题答对与否相互独立. （1）当p＝时，求考生填空题得20分的概率； 解：（1）设考生填空题得20分、15分、10分分别为事件A，B，C. 考生填空题得20分的概率为P（A）＝××＝. （2）若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求p的值. 解：（2）P（B）＝p××（1－）＋p×（1－）×＋（1－p）××＝p＋， P（C）＝p×（1－）×（1－）＋（1－p）××（1－）＋（1－p）×（1－）×＝－p. 由P（B）＝P（C），解得p＝. 【规律方法】 求较复杂事件的概率的一般步骤 （1）列出题中所涉及的各个事件，并且用适当的符号表示； （2）厘清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立），列出关系式； （3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算； （4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对 ... ...