湖北省荆州市2025-2026学年高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线的倾斜角是( ) A. B. C. D. 2.已知向量，若，则( ) A. B. C. D. 3.设等差数列的公差为，若，，则( ) A. B. C. D. 4.已知椭圆的右焦点为，上顶点为设为坐标原点，若，则( ) A. B. C. D. 5.设为坐标原点，点在抛物线：上，若点到的准线的距离为，则( ) A. B. C. D. 6.从至的个整数中随机取个数，则这个数之和是偶数的概率为( ) A. B. C. D. 7.记为等比数列的前项和，若，对，设甲：；乙：，则( ) A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 8.在平面直角坐标系中，已知四边形为正方形，，，所在直线的斜率存在且分别为，，若，，则( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设双曲线：，则( ) A. 的虚轴长为 B. 的焦距为 C. 的离心率为 D. 的渐近线方程为 10.已知样本数据，，，的平均数为，标准差为，标准化公式为，其中为原始值，为标准化后的值，记样本数据，，，的平均数为，标准差为，则( ) A. B. C. D. 11.设等比数列的前项和为，前项积为，公比为，若，，则( ) A. B. C. 数列无最小项 D. 数列是递减数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设随机事件，满足，则 ． 13.在正三棱柱中，，点，分别在棱，上，已知，则与平面所成角的正弦值为 ． 14.设双曲线的右焦点为，点，在的右支上，点满足若，则的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 音乐是心灵的甘露，能涤荡尘埃、抚慰灵魂为传递这份美好，某学校“清音杯”歌唱比赛如期举行，记录位参赛者的初赛成绩满分：分由低到高排列如下： 设这组样本数据的第百分位数、中位数、第百分位数分别为，，． 求，，； 已知成绩在区间内的选手称为“潜力选手”，现从这些潜力选手中随机抽取人，求同时抽中潜力选手和潜力选手的概率． 16.本小题分 如图，在平行六面体中，底面为正方形，，，设为的中点． 求的长； 求． 17.本小题分 已知数列的前项积． 求的通项公式； 设，若对任意正整数，恒成立，求的最小值． 18.本小题分 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是正三角形，平面，． 设，求点到平面的距离； 若二面角的正弦值为，求的长． 19.本小题分 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上异于长轴顶点的动点，且面积的最大值为直线，分别交于点，，的周长为． 求的标准方程； 求证：以，为焦点且经过点的双曲线也经过点； 若点，求的最大值． 答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：设这组样本数据的第百分位数、中位数、第百分位数分别为，，， ，故， ，故， ，故； 已知成绩在区间内的选手称为“潜力选手”， 由题意得一共有个潜力选手， 这人记为，，，，，从中抽取个， 样本空间，，，，，，，，，， 记事件“同时抽中潜力选手和潜力选手”，， 则， 故同时抽中潜力选手和潜力选手的概率为． 16.解：， ， ． 由题意得， 则 又， ． 17.解：因为数列的前项积， 所以当时，． 当时，，且时也满足此式． 所以的通项公式为； 因为，， 所以， 则， 即． 因为对任意正整数，恒成立， 所以的最小值为． 18.解：因为平面，所以． 以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过点作轴于点． 在平行四边形中，，，且，． 所以平行四边形为矩形，则， 所以，． 可得． 设平面的法向量， 则，可取， 可得，， 则到平面的距离为； 设，则． 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， ， 即， ... ...
