(课件网) 第4章 三角函数及三角计算 4.5 正弦函数、余弦函数、正弦型函数的图像和性质 4.5.1 正弦函数、余弦函数的图像和性质 考点一 正弦函数的图像和性质 1. 正弦函数y＝ sin x，x∈R的图像称为正弦曲线，如下图所示： 3. 正弦函数y＝ sin x，x∈R的主要性质： （2）周期性：正弦函数y＝ sin x，x∈R的最小正周期为2π. （3）奇偶性：正弦函数y＝ sin x，x∈R是奇函数，函数图像关于原点中心 对称. 注：一般地，对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义 域内任意一个值时，都有f（x＋T）＝f（x），则称函数y＝f（x）为周期函 数，非零常数T为y＝f（x）的一个周期.如果周期函数y＝f（x）的所有周期 中存在一个最小的正数T0，那么这个最小的正数T0就称为y＝f（x）的最小正周 期.如正弦函数y＝ sin x. 6. 余弦函数y＝ cos x，x∈R的主要性质： （1）值域：对任意的x，都有｜ cos x｜≤1，由此可知，余弦函数y＝ cos x， x∈R的值域为[－1，1].当x＝2kπ（k∈Z）时，y取得最大值，ymax＝1；当x＝ 2kπ＋π（k∈Z）时，y取得最小值，ymin＝－1. （2）周期性：余弦函数y＝ cos x，x∈R的最小正周期为2π. （3）奇偶性：余弦函数y＝ cos x，x∈R是偶函数，函数图像关于y轴对称. （4）单调性：余弦函数y＝ cos x，x∈R在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ] （k∈Z）上都是增函数，其函数值从－1增加到1；在每一个闭区间[2kπ，2kπ ＋π]（k∈Z）上都是减函数，其函数值从1减小到－1. 考向一 正弦函数y＝ sin x，x∈R的图像 典型例题 例1 作出函数y＝ sin x－1在[0，2π]上的简图. 【典例解析】本题考查用“五点法”作正弦函数的简图. ①列表： x 0 π 2π y＝ sin x 0 1 0 －1 0 y＝ sin x－1 －1 0 －1 －2 －1 ②描点、连线可得y＝ sin x－1在[0，2π]上的简图，如图所示. 【方法提炼】求作正弦函数的简图，一般用“五点法”，即找出规定区间上的五 个关键点. 变式训练1 利用“五点法”作出函数y＝1－ sin x在[0，2π]上的简图. 解：①列表： x 0 π 2π y＝ sin x 0 1 0 －1 0 y＝1－ sin x 1 0 1 2 1 ②描点、连线可得y＝1－ sin x在[0，2π]上的简图，如图所示. 考向二 正弦函数y＝ sin x，x∈R的性质 典型例题 例2 不求值，比较下列两组数值的大小. 变式训练2 不求值，比较下列两组数值的大小. 典型例题 例3 若2 sin x＋k－1＝0，x∈R，则实数k的取值范围是 . 【方法提炼】运用正弦函数与余弦函数的值域解题时，首先要考虑其定义域，其 次要注意正弦函数与余弦函数前面的系数. 变式训练3 A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 C A. [－5，1] B. [－1，5] C. [－2，3] D. [－3，2] 【解析】由－1≤ sin x≤1，得－1≤2－3 sin x≤5，所以函数f（x）＝2－ 3 sin x的值域为[－1，5]. B 考向三 余弦函数y＝ cos x，x∈R的图像 典型例题 【典例解析】本题考查用“五点法”作余弦函数的简图. ①列表： x 0 π 2π y＝ cos x 1 0 －1 0 1 0 0 【方法提炼】求作余弦函数的简图，一般用“五点法”，即找出规定区间上的五 个关键点. 变式训练4 A. （0，0） D. （π，1） D （2）作出函数y＝－ cos x在[0，2π]上的简图. 解：①列表： x 0 π 2π y＝ cos x 1 0 －1 0 1 y＝－ cos x －1 0 1 0 －1 ②描点、连线可得y＝－ cos x在[0，2π]上的简图，如图所示. 考向四 余弦函数y＝ cos x，x∈R的性质 典型例题 例5 已知函数y＝2 cos x，x∈R，求该函数的最大值及取得最大值时x的取值 集合. 【典例解析】本题考查余弦函数的最值. ∵函数y＝ cos x，x∈R的最大值为1， ∴函数y＝2 cos x的最大值为ymax＝2×1＝2， 此时x的取值集合是{x｜x＝2kπ，k∈Z}. 【方 ... ...
