(
课件网) 第4章 三角函数及三角计算 4.8 解三角形 8. 判断三角形的形状： 利用正弦定理与余弦定理实现由边到角或由角到边的转化，再利用三角形角的关 系或者边的关系判断三角形的形状. 在一个三角形中，若最大的角是锐角，则三角形是锐角三角形；若最大的角是直 角，则三角形是直角三角形；若最大的角是钝角，则三角形是钝角三角形. 考向一 正弦定理 典型例题 例1 （1）（2017年安徽省文化素质分类考试）在△ABC中，角A，B，C所对 的边是a，b，c，若a＝b＝2，∠B＝30°，则c＝（ ）. A. 30° B. 45° C. 30°或150° D. 45°或135° 【方法提炼】（1）该题重点考查三角形内角和定理、正弦定理、等腰三角形性 质的综合应用，首先根据a＝b，可知△ABC是等腰三角形，然后借助三角形内 角和定理求出∠C，再用正弦定理求出c；（2）已知三角形的两边及其中一边所 对的角，解三角形时，会出现多种可能，可根据三角形中“大边对大角”“两边 之和大于第三边”或“三角形的内角和等于180°”，对每种可能进行分析，从 而得出正确结论. 变式训练1 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° A A. 3 B. 4 C. 6 D. 16 【解析】∵b sin C＝3a sin B，由正弦定理可得， sin C∶ sin B＝c∶b，∴bc ＝3ab，∴c＝3a，又∵a＝1，∴c＝3. A A. 30° B. 60° C. 60°或120° D. 30°或150° A 考向二 余弦定理 典型例题 A. 13 B. 12 C. 10 D. 5 A. 30° B. 45° C. 60° D. 135° B. 3 C. 1 变式训练2 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 D A B. 4 D. 3 A 考向三 三角形的面积公式 典型例题 例3 （1）（2024届安徽省中职“江淮十校”第三次学情监测）在△ABC中，内 角A，B，C的对边分别为a，b，c.若（a－c）（a＋c）＝b（b－c）， bc＝2，则△ABC的面积为（ ）. A. 1 D. 2 （2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠A＝60°， b＝2，c＝1，求该三角形的面积. 变式训练3 B C 考向四 正弦定理与余弦定理的应用 典型例题 【典例解析】本题考查三角形形状的判断. 因为c＞b＞a，所以∠C＞∠B＞∠A，所以最大角是∠C. 【方法提炼】已知三边判断三角形的形状，只要运用余弦定理的变形公式求出最 大边所对的角的余弦值.若最大的角是锐角（余弦值为正），则三角形是锐角三 角形；若最大的角是直角（余弦值为零），则三角形是直角三角形；若最大的角 是钝角（余弦值为负），则三角形是钝角三角形. 变式训练4 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 C B B A. 90° B. 120° C. 45° D. 135° C A D. 0 D A. 4 C B A. 15° B. 75° C. 105° D. 15°或105° D A. 2 B. 3 C. 4 C D A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° C B D A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 C D 5 45°或135° 30° 135° 22. 在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且（a＋b＋c） （a＋b－c）＝3ab，求∠C. 23. 在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝105°，a＝4，求△ABC的面积. ... ...
