机密※启用前 2026 年青岛五十八中杜威实验学校高三一模 数 学 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效. 3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数 ,则 ( ) A. B. C. D. 2. 若集合 ，则( ) A. B. C. D. 3.《九章算术》是中国古代的数学名著, 书中有“分钱问题”: 现有 5 个人分 5 钱, 5 人分得钱数依次成等差数列, 前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和, 则分得钱数最少的一人钱数为( ) A. B. C. D. 4. 展开式中 的系数为 A. 15 B. 20 C. 30 D. 35 5. 已知函数 则 的解集是( ) A. B. C. D. 6. 已知圆台的侧面展开图是半个圆环,侧面积为 ,则圆台上下底面面积之差的绝对值为 ( ) A. B. C. D. 7. 已知 ，则 () A. B. C. D. 8. 设 的三边长分别为 的面积为 若 ,则 A. 为递减数列 B. 为递增数列 C. 为递增数列, 为递减数列 D. 为递减数列, 为递增数列 二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 在去年的足球联赛上, 甲队每场比赛平均失球数是 1.5 , 方差为 1.1; 乙队每场比赛平均失球数是 2.1 , 方差是 0.4 , 下列说法正确的有 ( ) A. 平均来说甲队比乙队防守技术好 B. 乙队比甲队的防守技术更稳定 C. 每轮比赛甲队的失球数一定比乙队少 D. 乙队可能有一半的场次不失球 10. 已知函数 ,则下列结论正确的是 ( ) A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 在 上没有零点 D. 的最小正周期为 11. 现进行如下试验: 从 中任选一个数,记为 ,若 ,则试验结束; 否则再从 中任选一个数,记为 ,若 ,则试验结束; 否则再从 中任选一个数，依次类推，直至选中 1 为止.记事件 “试验过程中，数字 被选到”， 表示事件 发生的概率 ,则() A. B. C. D. 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 若向量 满足 ，且 ，则 的值为_____. 13. 双曲线 的左焦点为 ,点 ,若 为 右支上的一个动点,则 的最小值为_____. 14. 已知正四面体 的棱长为 ,动点 满足 ,用所有这样的点 构成的平面截正四面体,则所得截面的面积为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15. 如图,在三棱锥 中, 分别为 的中点. (1)证明:平面 平面 ； (2)若 ，求直线 与平面 所成的角. 16. 已知 分别是 内角 的对边， . (1)若 ，求 的面积； (2)若 ，求 的正切值. 17. 甲参加围棋比赛,采用三局两胜制,若每局比赛甲获胜的概率为 ,输的概率为 ,每局比赛的结果是独立的. (1)当 时，求甲最终获胜的概率； (2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案. 方案一:最终获胜者得 3 分，失败者得 -2 分; 方案二:最终获胜者得 1 分，失败者得 0 分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大. 18. 已知 ,函数 . (1)当 时，求 的极值； (2)若 存在零点. (i) 当 时,求 的取值范围; (ii) 求证: . 19. 已知 为坐标原点，点 为 和 的公共点， ， 与直线 相切，记动点 的轨迹为 . (1)求 的方程； (2)若 ,直线 与 交于点 ,直线 与 交于点 , ,点 在第一象限,记直线 与 的交点为 ,直线 与 的交点为 ,线段 的中点为 . ①证明: ， ， 三点共线； ②若 ，过点 作 的平行线，分别交线段 ， 于点 ， ，求四边形 面积的最大值. 1. B 因为 ,故 . 故选: B. 2. A 因为集合 ,则 . 故选: A 3. C 设第 ... ...
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