商洛市2026年高三年级第一次模拟考试 数 学 考生注意: 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4．本卷命题范围:高考范围。 一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。 1. 设集合 ，则 A. B. C. D. 2. 若复数 满足 ，则 的虚部为 A. B. C. D. 3. 已知椭圆 ，则 “ ” 是 “ 的离心率为 ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若某社交 APP 的用户数每月增长 10%，则用户数从 100 万户增加到 1000 万户需要的时间约为 A. 15 月 B. 25 月 C. 35 月 D. 45 月 5. 在 的展开式中,仅有第 5 项的二项式系数最大,则 的展开式中有理项的项数是 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 记抛物线 的焦点为 ， 为 上一点且满足 ,则 的斜率为 A. B. C. D. 7. 已知函数 的最小正周期为 ,若 对任意的 恒成立，且 在区间 上单调递增，则 的取值范围为 A. B. C. D. 8. 在四棱锥 中， 是以 为斜边的等腰直角三角形, ， . 若点 均在球 的表面上，则当四棱锥 的体积最大时,球 的表面积为 A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。 9. 有一组样本数据 ,其平均数为 4,方差为 ,中位数为 . 在这组数中,去掉一个最大的数 6 和一个最小的数 2,余下 6 个数据的中位数为 ,方差为 ,极差为 ,则 A. B. C. D. 10. 已知函数 ,则 A. 曲线 关于直线 对称 B. 的极大值为 0 C. 存在 D. 有最小值,无最大值 11. 已知集合 . 由集合 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示,集合 与 轴的交点自上而下分别为 ,中间白色部分形如美丽的“水滴”，则 A. B. C. 集合 中的点到原点距离的最大值为 3 D. 白色“水滴”图形的面积是 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。 12. 已知向量 ，若 与 的夹角的余弦值为 ，则 _____. 13. 已知 ,且 ,则 _____. 14. 在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差 等比数列”此类数列求和，也可以用 “裂项相消法” 求解,例如 ,故 的前 项和 . 已知数列 满足 ,则 _____; 记数列 的前 项和为 ,则 _____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分 13 分) 在 中，内角 的对边分别是 ，且 . (1)求 ； (2)若 ，求 的面积的最大值. 16.(本小题满分 15 分) 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取 2000 名得到如下列联表: 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 (1)根据小概率值 的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； (2)在 800 名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取 8 人，再从这 8 名患者中随机抽取 4 人，设 表示 4 名患者中效果不明显的人数，求 的分布列和数学期望. 附: . 0.1 0.01 0.001 。 2.706 6.635 10.828 17. (本小题满分 15 分) 如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 膜 是直角梯形， ， ， 为 的中点， ， . (1)求证: 平面 ； (2)求直线 与平面 所成的角的正弦值； (3)求平面 与平面 所成二面角的正弦值. 18. (本小题满分 17 分) 已 ... ...
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