思想方法　第1讲　函数与方程思想 学案

　　高考命题中，以知识为载体，以能力立意，以思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值.高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查.如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决.高考中常用到的数学思想方法主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等. 第1讲　函数与方程思想 思想概述　函数的思想是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得以解决. 方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决. 方法一　运用函数相关概念的本质解题 　　在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题.常见问题有求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质. 例1　(1)已知函数f(x)=满足对任意的实数x1，x2且x1≠x2，都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 思路分析　[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0→f(x)为减函数→每一段都单调递减→x=1左侧的函数值不小于右侧的函数值. 答案　C 解析　对任意的实数x1，x2且x1≠x2， 都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0， 即<0恒成立， 可得函数图象上任意两点连线的斜率小于0，即函数f(x)是减函数，可得 解得≤a<. 批注　在函数的第一段中，虽然没有x=1，但当x=1时，本段函数有意义，故可求出其对应的“函数值”，且这个值是本段的“最小值”，为了保证函数是减函数，这个“最小值”应不小于第二段的最大值，即f(1)，这是解题的一个易忽视点. (2)对于函数f(x)(x∈D)，若存在常数T(T>0)，使得对任意的x∈D，都有f(x+T)≤f(x)成立，我们称函数f(x)为“T同比不增函数”.若函数f(x)=kx+cos x是“同比不增函数”，则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 思路分析　f(x)为“同比不增函数”→f≤f(x)恒成立→分离参数求最值. 答案　B 解析　因为函数f(x)=kx+cos x是“同比不增函数”， 所以f ≤f(x)， 即k+cos≤kx+cos x， 故≤cos x-cos =cos x- =sin x+cos x=sin恒成立， 又因为sin=-1， 因此≤-1，故k≤-，即实数k的取值范围为. 批注　本题关键是理解“T同比不增函数”的含义，对于恒成立问题，一般是分离参数，转化成求函数的最值问题. [规律方法]　解决本类题目的关键是理解函数相关概念的本质，也可以结合函数图象加以理解，严格按定义推导即可. 方法二　利用函数性质解不等式、方程问题 　　函数与方程、不等式相互联系，借助函数的性质可以解决方程的解的个数、参数取值范围以及解不等式问题. 例2　(1)已知函数f(x+2)=log3(3x+3-x)，若f(a-1)≥f(2a+1)成立，则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞，-2] B. C.(-∞，-2]∪[0，+∞) D.(-∞，-2]∪ 思路分析　解不等式问题→比较两个函数值的大小→判断f(x)的单调性. 答案　B 解析　设g(x)=f(x+2)=log3(3x+3-x)， 则其定义域为R， 因为g(-x)=log3(3-x+3x)=g(x)， 所以g(x)为偶函数， 所以f(x+2)的图象关于直线x=0对称， 所以f(x)的图象关于直线x=2对称. 设y=3x+3-x， 则y'=3xln 3-3-xln 3=(3x-3-x)ln 3， 令y'>0，则3x-3-x>0，得x>0， 所以y=3x+3-x在(0，+∞)上单调递增， 因为函数y=log3x为增函数， 所以g(x)在[0，+∞)上单调递增， 所以f(x)在[2，+∞)上单调递增， 因为f(a-1)≥f(2a+1)， 所以|a-1-2|≥|2a+1 ... ...