思想方法　第3讲　分类讨论思想 学案

第3讲　分类讨论思想 思想概述　分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想. 方法一　由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论 　　概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{an}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决. 例1　(1)直线l过点(0，3)与圆C：x2+y2-2x-2y-2=0交于A，B两点，且|AB|=2，则直线l的方程为(　　) A.3x+4y-12=0 B.3x+4y-12=0或4x+2y+1=0 C.x=0 D.x=0或3x+4y-12=0 思路分析　设直线方程→斜率不存在，l：x=0→k存在，l：y=kx+3→由圆心到直线l的距离d=1求解. 答案　D 解析　将圆C：x2+y2-2x-2y-2=0的方程化为(x-1)2+(y-1)2=4， 则圆C的圆心坐标为(1，1)，半径为2. 当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x=0时，代入圆的方程得y2-2y-2=0， 解得y1=1+，y2=1-， 此时|AB|=1+-(1-)=2，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+3， 由|AB|=2，得圆心C到直线l的距离为=1，故=1，解得k=-， 故此时直线的方程为y=-x+3，即3x+4y-12=0， 综上可得，直线l的方程为x=0 或3x+4y-12=0. (2)已知数列{an}满足a1=-2，a2=2，an+2-2an=1-(-1)n，则下列选项不正确的是(　　) A.{a2n-1}是等比数列 B.(a2i-1+2)=-10 C.{a2n}是等比数列 D.ai=52 思路分析　an+2-2an=1-(-1)n→n为奇数，{a2n-1}为等比数列；n为偶数，{a2n}为等比数列. 答案　B 解析　对于A，当n是奇数时，an+2-2an=2， 所以an+2+2=2(an+2)， 又因为a1=-2，所以a1+2=0， 所以当n是奇数时，an+2=0，即an=-2， 即{a2n-1}是以-2为首项，1为公比的等比数列， 即选项A正确； 对于B，由A知，当n是奇数时，an+2=0， 所以(a2i-1+2)=0，即选项B错误； 对于C，当n为偶数时，an+2-2an=0， 即an+2=2an， 又因为a2=2，所以=2， 所以{a2n}是以2为首项，2为公比的等比数列， 即选项C正确； 对于D，ai=(a1+a3+a5+a7+a9)+(a2+a4+a6+a8+a10)=-10+=52， 即选项D正确. 批注　涉及数列中(-1)n的问题，一般需分奇、偶讨论，当n为奇数时，首项是a1，an是第个奇数项；当n为偶数时，首项是a2，an是第个偶数项. [规律方法]　解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类.设直线方程需分斜率存在和不存在两种情况，数列中含(-1)n需分奇、偶两种情况，要注意分类讨论，要有理有据、不重不漏. 方法二　由图形位置或形状引起的分类讨论 　　图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究. 例2　(多选)已知P是圆O：x2+y2=4上任意一点，定点A在x轴上，线段AP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当P在圆O上运动时，Q的轨迹可以是(　　) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 思路分析　分类讨论点A的位置(圆内、圆上、圆外)→求||QO|-|QA||或|QA|+|QO|→利用圆锥曲线定义判断形状. 答案　ABC 解析　当点A在圆外时，如图(1)，(2)所示，设AP的中点为B，过B作AP的垂线交直线OP于Q，连接AQ，则|QP|=|QA|，则||QO|-|QA||=|OP|=2，又|AO|>2，则此时Q的轨迹为以O，A为焦点的双曲线； 当点A在圆内(非原点)时，如图(3)所示，此时|QA|+|QO|=|QO|+|QP|=|OP|=2，又|AO|<2，则此时Q的轨迹为以O，A为焦点的椭圆； 当A在坐标原点时，如图(4)所示，此时B，Q重合，|QO|=1，则此时Q的轨迹为以O为原点，半径为1的圆； 当点A在圆上时，如图(5)所示，由垂径定理，可知Q与O重合，此时Q的轨迹为点O. 批注　点A在x轴上， ... ...