专题突破　专题一　第2讲　三角函数的图象与性质 学案

第2讲　三角函数的图象与性质 1.(2025·全国Ⅰ卷，T4)已知点(a，0)(a>0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　) A. B. C. D. 2.(2025·天津，T8)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<π)，在上单调递增，且x=为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为(　　) A.- B.- C.1 D.0 3.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷，T9)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin，下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 4.(2023·新课标Ⅰ卷，T15)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　. 5.(2023·新课标Ⅱ卷，T16)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，如图，A，B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点，若|AB|=，则f(π)=　　　　. 命题热度： 本讲是历年高考命题必考的内容，属于中档题，主要题型为选择题或填空题，分值约为5~6分. 考查方向： 一是考查三角函数图象变换，考查根据给出的两个三角函数确定变换的方法以及根据给出的变换方法确定参数值的问题；二是考查三角函数的图象，考查根据给出的三角函数图象确定函数解析式中的参数，根据给出的情境确定三角函数图象等问题；三是考查三角函数的性质，考查根据三角函数解析式研究三角函数的单调性、对称性、周期性等性质. 1.答案　B 解析　y=2tan的对称中心的横坐标满足x-=，k∈Z，即x=+，k∈Z， 所以y=2tan的图象的对称中心是，k∈Z， 即a=+，k∈Z， 又a>0，则当k=0时，a最小，最小值是. 2.答案　A 解析　设f(x)的最小正周期为T， 根据题意有m，k∈Z， 由正弦函数的对称性可知-=(n∈N)，又ω>0， 即=，∴ω=4n+2(n∈N)， 又f(x)在上单调递增，则≥-=，∴≥，0<ω≤2， ∴ω=2，则m，k∈Z， ∵φ∈(-π，π)，∴当k=0，m=1时，φ=， ∴f(x)=sin， 又当x∈时，2x+∈， 由正弦函数的单调性可知当2x+=，即x=时，f(x)min=sin =-. 3.答案　BC 解析　A选项，令f(x)=sin 2x=0， 解得x=，k∈Z，即为f(x)的零点， 令g(x)=sin=0， 解得x=+，k∈Z，即为g(x)的零点， 显然f(x)，g(x)零点不同，A选项错误； B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确； C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为=π，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质，f(x)的对称轴满足2x=kπ+，k∈Z， 解得x=+，k∈Z， g(x)的对称轴满足2x-=kπ+，k∈Z， 解得x=+，k∈Z， 显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误. 4.答案　[2，3) 解析　因为0≤x≤2π， 所以0≤ωx≤2ωπ， 令f(x)=cos ωx-1=0， 则cos ωx=1有3个根， 令t=ωx，则cos t=1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]， 结合余弦函数y=cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π， 故2≤ω<3. 5.答案　- 解析　设A，B， 由|AB|=可得x2-x1=， 由sin x=可知， x=+2kπ，k∈Z或x=+2kπ，k∈Z， 由图可知， ωx2+φ-(ωx1+φ)=-=， 即ω(x2-x1)=，所以ω=4. 因为f =sin=0， 所以+φ=kπ，k∈Z， 即φ=-+kπ，k∈Z. 所以f(x)=sin，k∈Z， 所以f(x)=sin或f(x) =-sin， 又因为f(0)<0， 所以f(x)=sin， 所以f(π)=sin=-. 　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　三角函数的图象变换 例1　(1)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为π，且过点，若将f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，再向左平移个单位长度得到g(x)的图象，则g(x)等于(　　) A.sin B.sin C.sin D.sin 答案　C 解析　因为函数f(x)的最小正周期为π，ω>0， 所以T==π， 则ω=2，故f(x)=2sin(2x+φ)， 又函数f(x)过点，故f =2sin=0， 即-+φ=kπ，k∈Z，解得φ=kπ+，k∈Z， 由|φ|<得φ=-，故f(x)=2sin. 将f(x)图象上所有点的纵坐标变 ... ...